Questão 8

Um anel de raio R=10 cm possui uma carga total Q=5 times 10^-9 C distribuída uniformemente ao longo de sua circunferência.
(a) Calcule o campo elétrico em um ponto P situado a uma distância z=20 cm do centro do anel, ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel.
(b) Como o campo elétrico varia com a distância z quando z gg R ? Justifique fisicamente esse comportamento.

Passo 1

Beleza, vamos ao resumo: temos um anel de raio R=10 cm com carga total Q=5times10^-9,C distribuída uniformemente. Queremos (a) o campo elétrico no ponto P que fica a z=20 cm ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel; e (b) entender como E varia quando zgg R.
Conteúdo: eletrostática, cálculo de campo por distribuição contínua. Vamos usar a Lei de Coulomb, simetria do anel e integração.

Passo 2

Para achar o campo no eixo, dividimos o anel em infinitos pedaços de carga dQ. Cada um gera um d E no ponto P a uma distância
r=raizR^2+z^2,
Pela Lei de Coulomb,
dE=14piepsilon0,dQr^2,
Só a componente ao longo do eixo (eixo z) não se cancela por simetria. Essa componente é
dEz=dEcosthetacomcostheta=zr,
Como dQ percorre todo o anel, somamos (integramos) ao longo de 2pi R, lembrando que r e costheta são constantes para todos os dQ. Então:
Ez=integral dEz=14piepsilon0,zr^3integral dQ=14piepsilon0,Q,z(R^2+z^2)^3/2,

Passo 3

Agora, vamos ao número. Em unidades SI:
R=0.10,m, z=0.20,m, Q=5times10^-9,C e 14piepsilon0=8,99times10^9,N·m²/C².
Substituindo:
Ez=;8,99times10^9;5times10^-9times0.20(0.10^2+0.20^2)^3/2 approx8,99times10^9;1times10^-9(0.05)^3/2 approx8,99;/;0.01118 approx804;N/C,

Passo 4

Para zgg R, note que R^2+z^2approx z^2, logo
(R^2+z^2)^3/2approx z^3,,
e
$$E_z\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0},\frac{Q,z}{z^3}
=\frac{1}{4\pi\epsilon_0},\frac{Q}{z^2},. $$
Fisicamente, de longe o anel “parece” uma carga pontual Ezapprox14piepsilon0,Q,zz^3 =14piepsilon0,Qz^2, , e o campo de uma carga pontual decai como Q.

Resposta

(a) Eapprox8,04times10^2;N/C ao longo do eixo (sentido afastando-se do anel, pois Q>0).
(b) Para zgg R, Epropto1/z^2, porque o anel de longe se comporta como uma carga pontual.

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