Questão 13
Considere um campo elétrico estático
.
(a) Calcule o rotacional
.
(b) O resultado é consistente com o fato de que o campo elétrico estático é irrotacional? Justifique.
© Se o resultado não for consistente, identifique o erro na expressão do campo elétrico e corrijao para que seja fisicamente válido.
(a) Calcule o rotacional
(b) O resultado é consistente com o fato de que o campo elétrico estático é irrotacional? Justifique.
© Se o resultado não for consistente, identifique o erro na expressão do campo elétrico e corrijao para que seja fisicamente válido.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que pintou aqui. A questão é sobre um campo elétrico estático
Ela pede:
1) Calcular o rotacional
2) Verificar se isso bate com a ideia de que campo elétrico estático é irrotacional (ou seja, tem rotacional zero).
3) Se não der zero, achar onde tá o erro na expressão e consertar para ficar um campo válido.
Para resolver isso precisamos lembrar da definição de rotacional em coordenadas cartesianas e usar derivadas parciais. Vamos devagar, passo a passo!
Passo 2
Definição de rotacional. Em
, para
a gente tem
$$\nabla\times\vec{E}
= \Bigl(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\Bigr)\hat{i}
- \Bigl(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\Bigr)\hat{j}
- \Bigl(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\Bigr)\hat{k}.$$
É só aplicar isso com.
Passo 3
Calculando termo a termo:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então
Passo 4
Campo elétrico estático deve ser irrotacional, ou seja
tem que ser zero em todo lugar. Mas achamos
. Então não bate: tem um erro na expressão do campo.
Passo 5
Precisamos ajustar algum coeficiente pra dar zero. Note que o problema está na componente
: ela só some se
. Demos conta que
se
, e
é
porque
. Para igualar, seria legal trocar o “3” em
por “2”. Assim, definindo
a gente recomeça o rotacional e vai achar tudo zero.
Resposta
(a)
.
(b) Não é consistente, porque campo elétrico estático tem rotacional nulo.
© O erro estava no coeficiente “3” de . Para ficar irrotacional, deve ser
, ou seja
(b) Não é consistente, porque campo elétrico estático tem rotacional nulo.
© O erro estava no coeficiente “3” de
$