Questão 13

Considere um campo elétrico estático nabla times E.
(a) Calcule o rotacional .
(b) O resultado é consistente com o fato de que o campo elétrico estático é irrotacional? Justifique.
© Se o resultado não for consistente, identifique o erro na expressão do campo elétrico e corrijao para que seja fisicamente válido.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que pintou aqui. A questão é sobre um campo elétrico estático
E(x,y,z) = (3xy),i + (x^2 + z^2),j + (2yz),k,
Ela pede:
1) Calcular o rotacional nablatimesE.
2) Verificar se isso bate com a ideia de que campo elétrico estático é irrotacional (ou seja, tem rotacional zero).
3) Se não der zero, achar onde tá o erro na expressão e consertar para ficar um campo válido.
Para resolver isso precisamos lembrar da definição de rotacional em coordenadas cartesianas e usar derivadas parciais. Vamos devagar, passo a passo!

Passo 2

Definição de rotacional. Em x,y,z, para
E = Ex,i + Ey,j + Ez,k,
a gente tem
$$\nabla\times\vec{E}
= \Bigl(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\Bigr)\hat{i}
  • \Bigl(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\Bigr)\hat{j}
  • \Bigl(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\Bigr)\hat{k}.$$
    É só aplicar isso com nablatimesE = l(partial Ezpartial y-partial Eypartial zr)i + l(partial Expartial z-partial Ezpartial xr)j + l(partial Eypartial x-partial Expartial yr)k.

Passo 3

Calculando termo a termo:
  1. Componente i:
partial Ezpartial y-partial Eypartial z = partial (2yz)partial y-partial (x^2+z^2)partial z = 2z - 2z = 0
  1. Componente j:
partial Expartial z-partial Ezpartial x = partial (3xy)partial z-partial (2yz)partial x = 0 - 0 = 0
  1. Componente k:
partial Eypartial x-partial Expartial y = partial (x^2+z^2)partial x-partial (3xy)partial y = 2x - 3x = -x
Então
nablatimesE = 0,i + 0,j + (-x),k = -x,k

Passo 4

Campo elétrico estático deve ser irrotacional, ou seja nablatimesE tem que ser zero em todo lugar. Mas achamos -x,kneq 0. Então não bate: tem um erro na expressão do campo.

Passo 5

Precisamos ajustar algum coeficiente pra dar zero. Note que o problema está na componente k: ela só some se partial Ey/partial x = partial Ex/partial y. Demos conta que partial Ey/partial x=2x se Ey=x^2+z^2, e partial Ex/partial y é 3x porque Ex=3xy. Para igualar, seria legal trocar o “3” em Ex por “2”. Assim, definindo
boxedErm corrigido(x,y,z) = (2xy),i + (x^2+z^2),j + (2yz),k,
a gente recomeça o rotacional e vai achar tudo zero.

Resposta

(a) nablatimesE = -x,k.
(b) Não é consistente, porque campo elétrico estático tem rotacional nulo.
© O erro estava no coeficiente “3” de Ex=3xy. Para ficar irrotacional, deve ser Ex=2xy, ou seja
$

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