Uma casca esférica com raios internos
e
, respectivamente, é formado com um material de resistividade
. Ela conduz uma corrente elétrica radial, com densidade uniforme em todas as direções. Mostre qua sua resistência é:
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica feita de material com resistividade
, com raio interno
e raio externo
. Uma corrente elétrica flui radialmente através do material, com densidade de corrente uniforme sobre cada superfície esférica (isto é, a corrente se espalha igualmente em todas as direções). O que se pede é a resistência elétrica entre a superfície interna e a superfície externa da casca, isto é, o valor de
tal que a diferença de potencial entre as superfícies satisfaça
para uma corrente
que vai do interior para o exterior (ou vice‑versa). Dados relevantes:
.
A resposta a ser mostrada é
A resposta a ser mostrada é
Passo 2
Conceito básico que usamos: para um material ôhmico homogêneo, a resistência de um elemento cilíndrico (ou de qualquer elemento com comprimento
e área de seção transversal
) é dada por
Aqui
é a resistividade do material (unidade
),
é o comprimento do trecho por onde a corrente passa, e
é a área perpendicular à direção da corrente naquele trecho. Essa fórmula é apenas a forma local da lei
aplicada a um elemento infinitesimal. Vamos aplicá‑la integrando elementos concêntricos na direção radial.
Passo 3
Escolhemos uma superfície esférica concêntrica de raio
, com
. A corrente que atravessa essa superfície está uniformemente distribuída sobre a área da esfera, cuja área é
Um elemento radial de espessura
tem comprimento
na direção da corrente radial. Portanto o elemento de resistência entre a esfera de raio
e a de raio
é
Aqui explico: usamos
porque a corrente é radial e percorre um trecho radial
; usamos
porque a seção que “transporta” a corrente a esse raio é a superfície esférica de área
.
Passo 4
Agora somamos (integramos) todos os elementos
desde
até
para obter a resistência total:
Calculamos a integral passo a passo. Primeiro fatoramos constantes:
A primitiva de
é
. Portanto
Substituindo de volta,
Passo 5
Comentário didático e verificação alternativa (útil para prova): podemos obter a mesma expressão a partir de campos e densidade de corrente. Se uma corrente
atravessa a esfera, a densidade de corrente em raio
é
A lei local de Ohm em forma contínua diz
; como
é radial,
. A diferença de potencial entre
e
é
Dividindo por
obtemos exatamente
igual à expressão encontrada. Essa verificação reforça que o procedimento diferencial está correto.