Uma casca esférica com raios internos r_{a} e r_{b}, respectivamente, é formado com um material de resistividade \rho. Ela conduz uma corrente elétrica radial, com densidade uniforme em todas as direções. Mostre qua sua resistência é:
R=\frac{\rho}{4 \pi}\left(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica feita de material com resistividade \rho, com raio interno \;r_{a}\; e raio externo \;r_{b}\;. Uma corrente elétrica flui radialmente através do material, com densidade de corrente uniforme sobre cada superfície esférica (isto é, a corrente se espalha igualmente em todas as direções). O que se pede é a resistência elétrica entre a superfície interna e a superfície externa da casca, isto é, o valor de R tal que a diferença de potencial entre as superfícies satisfaça V=\;R\,I para uma corrente I que vai do interior para o exterior (ou vice‑versa). Dados relevantes:
\rho,\;r_{a},\;r_{b}.
A resposta a ser mostrada é
R=\frac{\rho}{4\pi}\left(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\right).

Passo 2

Conceito básico que usamos: para um material ôhmico homogêneo, a resistência de um elemento cilíndrico (ou de qualquer elemento com comprimento dl e área de seção transversal A) é dada por
dR=\frac{\rho\,dl}{A}.
Aqui \rho é a resistividade do material (unidade \Omega\cdot\mathrm{m}), dl é o comprimento do trecho por onde a corrente passa, e A é a área perpendicular à direção da corrente naquele trecho. Essa fórmula é apenas a forma local da lei R=\rho\,L/A aplicada a um elemento infinitesimal. Vamos aplicá‑la integrando elementos concêntricos na direção radial.

Passo 3

Escolhemos uma superfície esférica concêntrica de raio r, com r_{a}\le r\le r_{b}. A corrente que atravessa essa superfície está uniformemente distribuída sobre a área da esfera, cuja área é
A(r)=4\pi r^{2}.
Um elemento radial de espessura dr tem comprimento dl=dr na direção da corrente radial. Portanto o elemento de resistência entre a esfera de raio r e a de raio r+dr é
dR=\frac{\rho\,dr}{A(r)}=\frac{\rho\,dr}{4\pi r^{2}}.
Aqui explico: usamos dl=dr porque a corrente é radial e percorre um trecho radial dr; usamos A=4\pi r^{2} porque a seção que “transporta” a corrente a esse raio é a superfície esférica de área 4\pi r^{2}.

Passo 4

Agora somamos (integramos) todos os elementos dR desde r=r_{a} até r=r_{b} para obter a resistência total:
R=\int_{r_{a}}^{r_{b}} dR=\int_{r_{a}}^{r_{b}}\frac{\rho\,dr}{4\pi r^{2}}.
Calculamos a integral passo a passo. Primeiro fatoramos constantes:
R=\frac{\rho}{4\pi}\int_{r_{a}}^{r_{b}} r^{-2}\,dr.
A primitiva de r^{-2} é -r^{-1}. Portanto
\int_{r_{a}}^{r_{b}} r^{-2}\,dr = \left[-\frac{1}{r}\right]_{r_{a}}^{r_{b}} = -\frac{1}{r_{b}} + \frac{1}{r_{a}} = \frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}.
Substituindo de volta,
R=\frac{\rho}{4\pi}\left(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\right).

Passo 5

Comentário didático e verificação alternativa (útil para prova): podemos obter a mesma expressão a partir de campos e densidade de corrente. Se uma corrente I atravessa a esfera, a densidade de corrente em raio r é
J(r)=\frac{I}{4\pi r^{2}}.
A lei local de Ohm em forma contínua diz \mathbf{E}=\rho\,\mathbf{J}; como \mathbf{J} é radial, E(r)=\rho J(r)=\rho\,I/(4\pi r^{2}). A diferença de potencial entre r_{a} e r_{b} é
V=\int_{r_{a}}^{r_{b}} E(r)\,dr = \int_{r_{a}}^{r_{b}}\frac{\rho I}{4\pi r^{2}}\,dr = I\frac{\rho}{4\pi}\left(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\right).
Dividindo por I obtemos exatamente R igual à expressão encontrada. Essa verificação reforça que o procedimento diferencial está correto.

Resposta

R=\frac{\rho}{4\pi}\left(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\right)

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