\hat{D}\quad\text{(amplitude de }\mathrm{d}^{\rightarrow}),\qquad \omega\quad\text{(frequência angular)},\qquad b\quad\text{(constante de propagação no eixo }z).êçã
Condições físicas implícitas: espaço livre (logo \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e não há correntes livres nem cargas livres), dependência harmônica \sin(\omega t+b z).
Passo 2
Escrevo a equação de Maxwell-Ampère no vácuo (sem corrente livre):
Explicação: aqui \mathbf{B} é a indução magnética, \mathbf{D} é a densidade de deslocamento dada no enunciado, \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. Essa equação relaciona o rotacional de \mathbf{B} com a variação temporal de \mathbf{D}.
Passo 3
Calculo a derivada temporal de \mathbf{D}. Como \mathbf{D}=\hat{D}\sin(\omega t+b z)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}, deriva-se a função seno em relação a t:
Explicando: a derivada de \sin(\omega t+b z) em relação a t é \omega\cos(\omega t+b z); o fator b z é tratado como constante quando derivamos em relação a t.
Passo 4
Vou procurar um \mathbf{B} compatível. Por simetria de onda plana com propagação ao longo do eixo z e \mathbf{D} ao longo de x, o campo magnético deve ser perpendicular a ambos (regra da mão direita), portanto esperado ao longo do eixo y. Então proponho a forma geral
Explicação: em ondas eletromagnéticas planas no vácuo, os campos elétrico e magnético são transversais ao vetor de propagação; como aqui \mathbf{D} (e portanto \mathbf{E}) está em x e a variação espacial está em z, \mathbf{B} naturalmente fica em y.
Passo 5
Calculo o rotacional de \mathbf{B} para a forma proposta. Apenas a componente B_{y} depende de z e t, assim
Comentário final: escolhemos a solução harmônica (mesma fase) porque buscamos o regime estacionário senoidal; não adicionamos constantes de integração dependentes de z ou t porque feriados físicos (onda uniforme e solução finita) e coerência de fase implicam essa escolha.