No espaço livre, \mathrm{d}^{\rightarrow}(t)=\hat{D} \sin (\omega t+b z) \overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}. Usando as equações de Maxwell, mostre que \mathrm{b}^{\rightarrow}(t)=-\frac{\omega \mu_{0} \hat{D}}{b} \sin (\omega t+b z)_{h} \overrightarrow{\mathrm{a}}.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de deslocamento elétrico no espaço livre
\mathrm{d}^{\rightarrow}(t)=\hat{D}\sin(\omega t+b z)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}.
O que nos pede é mostrar que o campo magnético (indução magnética) tem a forma
\mathrm{b}^{\rightarrow}(t)=-\frac{\omega\mu_{0}\hat{D}}{b}\sin(\omega t+b z)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{y}}.
Informações relevantes fornecidas:
\hat{D}\quad\text{(amplitude de }\mathrm{d}^{\rightarrow}),\qquad \omega\quad\text{(frequência angular)},\qquad b\quad\text{(constante de propagação no eixo }z).êçã
Condições físicas implícitas: espaço livre (logo \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e não há correntes livres nem cargas livres), dependência harmônica \sin(\omega t+b z).

Passo 2

Escrevo a equação de Maxwell-Ampère no vácuo (sem corrente livre):
\nabla\times \mathbf{H}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.
No espaço livre \mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{B}, portanto multiplico por \mu_{0} e obtenho a forma conveniente:
\nabla\times \mathbf{B}=\mu_{0}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.
Explicação: aqui \mathbf{B} é a indução magnética, \mathbf{D} é a densidade de deslocamento dada no enunciado, \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. Essa equação relaciona o rotacional de \mathbf{B} com a variação temporal de \mathbf{D}.

Passo 3

Calculo a derivada temporal de \mathbf{D}. Como \mathbf{D}=\hat{D}\sin(\omega t+b z)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}, deriva-se a função seno em relação a t:
\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\hat{D}\,\omega\cos(\omega t+b z)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}.
Explicando: a derivada de \sin(\omega t+b z) em relação a t é \omega\cos(\omega t+b z); o fator b z é tratado como constante quando derivamos em relação a t.

Passo 4

Vou procurar um \mathbf{B} compatível. Por simetria de onda plana com propagação ao longo do eixo z e \mathbf{D} ao longo de x, o campo magnético deve ser perpendicular a ambos (regra da mão direita), portanto esperado ao longo do eixo y. Então proponho a forma geral
\mathbf{B}(z,t)=B_{y}(z,t)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{y}}.
Explicação: em ondas eletromagnéticas planas no vácuo, os campos elétrico e magnético são transversais ao vetor de propagação; como aqui \mathbf{D} (e portanto \mathbf{E}) está em x e a variação espacial está em z, \mathbf{B} naturalmente fica em y.

Passo 5

Calculo o rotacional de \mathbf{B} para a forma proposta. Apenas a componente B_{y} depende de z e t, assim
\nabla\times \mathbf{B} = -\frac{\partial B_{y}}{\partial z}\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}.
Derivação curta: pela fórmula do rotacional,
(\nabla\times\mathbf{B})_{x}=\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}=-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}
pois B_{z}=0 e não há dependência em x,y; as outras componentes do rotacional são nulas para esta configuração.

Passo 6

Agora igualo componente a componente a equação de Maxwell que escrevi no Passo 2:
-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}=\mu_{0}\,\hat{D}\,\omega\cos(\omega t+b z)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}.
Portanto, tomando a componente x,
-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}=\mu_{0}\,\hat{D}\,\omega\cos(\omega t+b z).

Passo 7

Assumo que B_{y} tem a mesma dependência harmônica em fase (mesma função de \omega t+b z) que \mathbf{D}. Então proponho
B_{y}(z,t)=\hat{B}\sin(\omega t+b z),
onde \hat{B} é a amplitude desconhecida. Derivo em z:
\frac{\partial B_{y}}{\partial z}=\hat{B}\,b\cos(\omega t+b z).
Substituo na igualdade do Passo 6:
-\hat{B}\,b\cos(\omega t+b z)=\mu_{0}\,\hat{D}\,\omega\cos(\omega t+b z).

Passo 8

Como \cos(\omega t+b z) não é identicamente zero, igualo os coeficientes:
-\hat{B}\,b=\mu_{0}\,\hat{D}\,\omega.
Isolando \hat{B},
\hat{B}=-\frac{\mu_{0}\,\hat{D}\,\omega}{b}.
Logo a componente y de \mathbf{B} é
B_{y}(z,t)=-\frac{\mu_{0}\,\hat{D}\,\omega}{b}\sin(\omega t+b z).

Passo 9

Escrevo o campo magnético completo, retornando à notação do enunciado:
\mathrm{b}^{\rightarrow}(t)=-\frac{\omega\mu_{0}\hat{D}}{b}\sin(\omega t+b z)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{y}}.
Comentário final: escolhemos a solução harmônica (mesma fase) porque buscamos o regime estacionário senoidal; não adicionamos constantes de integração dependentes de z ou t porque feriados físicos (onda uniforme e solução finita) e coerência de fase implicam essa escolha.

Resposta

\mathrm{b}^{\rightarrow}(t)=-\dfrac{\omega\mu_{0}\hat{D}}{b}\sin(\omega t+b z)\,\overrightarrow{\mathrm{a}_{y}}

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