1. Uma casca esférica uniformemente carregada com densidade superficial de carga positiva \sigma contém um orifício circular em sua superfície. O raio r do orifício é pequeno comparado ao raio R da esfera. Qual é o campo elétrico no centro do orifício? Sugestão: Este problema pode ser resolvido usando o princípio da superposição.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica de raio R com densidade superficial de carga positiva \sigma, que tem um orifício circular de raio r\ll R. Pede-se o campo elétrico no centro desse orifício. Vamos usar o princípio da superposição: tratamos a casca completa mais um disco de densidade -\sigma ocupando o lugar do orifício.

Passo 2

Campo da casca esférica completa no ponto sobre a superfície
Pela lei de Gauss, para uma casca uniformemente carregada, o campo fora da casca (num ponto a uma distância R do centro) vale
E_{\rm casca}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R^2}
onde Q=4\pi R^2\sigma. Logo
E_{\rm casca} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{4\pi R^2\sigma}{R^2} =\frac{\sigma}{\varepsilon_0}
e aponta radialmente para fora, isto é, ao longo da normal à superfície.

Passo 3

Campo do disco de densidade -\sigma no seu centro
Um disco plano de raio r e densidade superficial \sigma', no ponto sobre a face do disco (distância x=0 da superfície), produz
E_{\rm disco} =\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}.
No nosso caso \sigma'=-\sigma, de modo que o disco “retira” do campo a quantidade
E_{\rm disco} =\frac{-\sigma}{2\varepsilon_0}
na direção radial para fora (pois carga negativa reverte o sentido).

Passo 4

Superposição dos dois campos
Somando o campo da casca completa com o do disco de carga negativa, obtemos
E_{\rm total} =E_{\rm casca}+E_{\rm disco} =\frac{\sigma}{\varepsilon_0} -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
no sentido radial para fora.

Resposta

O campo elétrico no centro do orifício é
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
apontando perpendicularmente à casca (radialmente para fora).

Exercícios relacionados