- Uma casca esférica uniformemente carregada com densidade superficial de carga positiva
contém um orifício circular em sua superfície. O raio
do orifício é pequeno comparado ao raio
da esfera. Qual é o campo elétrico no centro do orifício? Sugestão: Este problema pode ser resolvido usando o princípio da superposição.
Passo 1
O enunciado descreve uma casca esférica de raio
com densidade superficial de carga positiva
, que tem um orifício circular de raio
. Pede-se o campo elétrico no centro desse orifício. Vamos usar o princípio da superposição: tratamos a casca completa mais um disco de densidade
ocupando o lugar do orifício.
Passo 2
Campo da casca esférica completa no ponto sobre a superfície
Pela lei de Gauss, para uma casca uniformemente carregada, o campo fora da casca (num ponto a uma distância do centro) vale
Pela lei de Gauss, para uma casca uniformemente carregada, o campo fora da casca (num ponto a uma distância
onde
. Logo
e aponta radialmente para fora, isto é, ao longo da normal à superfície.
Passo 3
Campo do disco de densidade
no seu centro
Um disco plano de raio e densidade superficial
, no ponto sobre a face do disco (distância
da superfície), produz
Um disco plano de raio
No nosso caso
, de modo que o disco “retira” do campo a quantidade
na direção radial para fora (pois carga negativa reverte o sentido).
Passo 4
Superposição dos dois campos
Somando o campo da casca completa com o do disco de carga negativa, obtemos
Somando o campo da casca completa com o do disco de carga negativa, obtemos
no sentido radial para fora.
Resposta
O campo elétrico no centro do orifício é
apontando perpendicularmente à casca (radialmente para fora).