Uma esfera isolante de raio R, contém uma cavidade esférica concêntrica de raio r_{c}. 0 material entre os raios R e r_{c} está carregado com uma densidade volumétrica de carga constante \rho. Determine o potencial elétrico como uma função da distância ao centro. O potencial é contínuo em R e r_{c} ? Considere V=0 em r=\infty.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(r) de uma casca esférica isolante de raio externo R e cavidade concêntrica de raio r_{c}, com densidade volumétrica de carga constante \rho no material entre r_{c} e R.
Conteúdo: usar a Lei de Gauss para obter o campo E(r) em cada região e, em seguida, integrar -E para achar V, fixando V(\infty)=0.

Passo 2

Para r\ge R, toda a carga está englobada,
Q_{\rm tot}=\rho\,\frac{4\pi}{3}\bigl(R^3-r_{c}^3\bigr),
logo, pela Lei de Gauss,
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q_{\rm tot}}{r^2} =\frac{\rho\,(R^3-r_{c}^3)}{3\epsilon_0}\,\frac{1}{r^2}.
Integrando de r até \infty com V(\infty)=0, obtém-se
V(r) =\int_{\infty}^{r}\!(-E(r'))\,dr' =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q_{\rm tot}}{r} =\frac{\rho\,(R^3-r_{c}^3)}{3\epsilon_0}\,\frac{1}{r}.

Passo 3

Para r_{c}\le r\le R, a carga englobada vale
Q(r)=\rho\,\frac{4\pi}{3}\bigl(r^3-r_{c}^3\bigr)
e
E(r) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q(r)}{r^2} =\frac{\rho}{3\epsilon_0}\Bigl(r-\frac{r_{c}^3}{r^2}\Bigr).
Como V(R) já foi obtido em

Passo 4

V(r)=V(R)-\int_{R}^{r}E(r')\,dr'
e, após integração, chega-se a
V(r) =\frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(3R^2 - r^2\bigr) -\frac{\rho\,r_{c}^3}{3\epsilon_0\,r}.

Passo 5

Para r\le r_{c}, não há carga englobada, então E=0 e V é constante.
Usando continuidade em r_{c} (valor de V em

Passo 6

V(r)=V(r_{c}) =\frac{\rho}{2\epsilon_0}\bigl(R^2 - r_{c}^2\bigr).

Passo 7

Calculando V nos limites r\to R^\pm e r\to r_{c}^\pm vê-se que as expressões coincidem, logo o potencial é contínuo em r=R e em r=r_{c}.

Resposta

V(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\rho}{2\epsilon_0}\bigl(R^2 - r_{c}^2\bigr), & r\le r_{c},\\[1em] \displaystyle \frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(3R^2 - r^2\bigr) -\frac{\rho\,r_{c}^3}{3\epsilon_0\,r}, & r_{c}\le r\le R,\\[1em] \displaystyle \frac{\rho\,(R^3 - r_{c}^3)}{3\epsilon_0}\,\frac{1}{r}, & r\ge R. \end{cases}
O potencial é contínuo em r=R e em r=r_{c}.]

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