Em cada vértice de um cubo de lado l é colocada uma carga Q. (a) Qual é o potencial elétrico no centro do cubo? (b) Qual é o potencial elétrico em cada vértice devido às outras sete cargas? (c) Qual é a energia potencial total do sistema? Use V=0 para r=\infty.

Passo 1

O enunciado coloca cargas iguais Q em cada um dos 8 vértices de um cubo de aresta l. Precisamos usar o potencial de uma carga pontual, que é
V(r)=\frac{k\,Q}{r},
e superpor as contribuições de todas as cargas. Vamos calcular:
(a) o potencial no centro do cubo;
(b) o potencial em um vértice devido às outras sete cargas;
(c) a energia potencial total do sistema.

Passo 2

Para (a), identificamos que a distância de cada vértice ao centro do cubo é a meia diagonal do cubo. A diagonal de espaço do cubo vale l\sqrt{3}, então
r_{\rm centro\text{–}vértice}=\frac{l\sqrt{3}}{2}.é

Passo 3

Como há 8 vértices, o potencial no centro é a soma de oito contribuições idênticas:
V_{\rm centro} =\sum_{i=1}^{8}\frac{k\,Q}{r_{\rm centro\text{–}vértice}} =8\;\frac{k\,Q}{\tfrac{l\sqrt{3}}{2}} =16\,\frac{k\,Q}{l\sqrt{3}}.é

Passo 4

Para (b), num dado vértice chamemos de A, as outras sete cargas estão a três tipos de distâncias:
  1. Três cargas nos vértices adjacentes por aresta a distância l.
  2. Três cargas nos vértices da mesma face, mas na diagonal de face a distância l\sqrt{2}.
  3. Uma carga no vértice oposto, na diagonal espacial a distância l\sqrt{3}.

Passo 5

Logo o potencial em A devido às outras sete cargas é
V_{A} =k\,Q\Bigl(\frac{3}{l}+\frac{3}{l\sqrt{2}}+\frac{1}{l\sqrt{3}}\Bigr).

Passo 6

Para (c), a energia potencial total pode ser obtida somando 1/2\sum_{i}Q\,V_{i} ou somando diretamente as interações pares. Há 12 pares a distância l, 12 pares a l\sqrt{2} e 4 pares a l\sqrt{3}. Assim,
U =\sum_{\text{pares}}\frac{k\,Q^2}{r} =k\,Q^2\Bigl(\frac{12}{l}+\frac{12}{l\sqrt{2}}+\frac{4}{l\sqrt{3}}\Bigr) =4\,k\,Q^2\Bigl(\frac{3}{l}+\frac{3}{l\sqrt{2}}+\frac{1}{l\sqrt{3}}\Bigr).

Resposta

(a) \displaystyle V_{\rm centro}=16\,\frac{k\,Q}{l\sqrt{3}}.
(b) \displaystyle V_{A}=k\,Q\Bigl(\frac{3}{l}+\frac{3}{l\sqrt{2}}+\frac{1}{l\sqrt{3}}\Bigr).
(c) \displaystyle U=4\,k\,Q^2\Bigl(\frac{3}{l}+\frac{3}{l\sqrt{2}}+\frac{1}{l\sqrt{3}}\Bigr).

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