Em cada vértice de um cubo de lado
é colocada uma carga
. (a) Qual é o potencial elétrico no centro do cubo? (b) Qual é o potencial elétrico em cada vértice devido às outras sete cargas? (c) Qual é a energia potencial total do sistema? Use
para
.
Passo 1
O enunciado coloca cargas iguais
em cada um dos 8 vértices de um cubo de aresta
. Precisamos usar o potencial de uma carga pontual, que é
e superpor as contribuições de todas as cargas. Vamos calcular:
(a) o potencial no centro do cubo;
(b) o potencial em um vértice devido às outras sete cargas;
(c) a energia potencial total do sistema.
(a) o potencial no centro do cubo;
(b) o potencial em um vértice devido às outras sete cargas;
(c) a energia potencial total do sistema.
Passo 2
Para (a), identificamos que a distância de cada vértice ao centro do cubo é a meia diagonal do cubo. A diagonal de espaço do cubo vale
, então
Passo 3
Como há 8 vértices, o potencial no centro é a soma de oito contribuições idênticas:
Passo 4
Para (b), num dado vértice chamemos de
, as outras sete cargas estão a três tipos de distâncias:
- Três cargas nos vértices adjacentes por aresta a distância
. - Três cargas nos vértices da mesma face, mas na diagonal de face a distância
. - Uma carga no vértice oposto, na diagonal espacial a distância
.
Passo 5
Logo o potencial em
devido às outras sete cargas é
Passo 6
Para (c), a energia potencial total pode ser obtida somando
ou somando diretamente as interações pares. Há 12 pares a distância
, 12 pares a
e 4 pares a
. Assim,
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)