Questão 16 - Uma barra homogênea de massa
e comprimento
está livre para girar em torno de um eixo horizontal que passa, perpendicularmente, a uma distância
do seu centro.
a) Determine o período de oscilação da barra para pequenos deslocamentos angulares. [Sugestão: o momento de inércia em relação ao centro de massa da barra é
. Use o teorema dos eixos paralelos].
b) Determine para que valor de
o período é mínimo.
Resps: a)
[
\frac{2 \pi}{\sqrt{12 g}} \sqrt{\frac{L^{2}}{x}+12 x} ; b) \frac{L}{\sqrt{12}}
a) Determine o período de oscilação da barra para pequenos deslocamentos angulares. [Sugestão: o momento de inércia em relação ao centro de massa da barra é
b) Determine para que valor de
\frac{2 \pi}{\sqrt{12 g}} \sqrt{\frac{L^{2}}{x}+12 x} ; b) \frac{L}{\sqrt{12}}
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra homogênea que pode girar em torno de um eixo. A gente vai trabalhar com Dinâmica Rotacional e Oscilações Harmônicas. Precisamos encontrar o período de oscilação da barra para pequenos deslocamentos angulares e descobrir qual a posição do eixo que minimiza esse período. Para resolver isso, vamos precisar usar o momento de inércia da barra e o teorema dos eixos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma barra homogênea de massa $ M $ e comprimento $ L $, o momento de inércia em relação ao seu centro de massa é dado por:
Passo 3
Agora, queremos o momento de inércia em relação ao eixo de rotação que está a uma distância $ x $ do centro da barra. Aqui, usamos o teorema dos eixos paralelos, que nos diz que:
Substituindo $ I_{cm} $:
Passo 4
Para pequenas oscilações angulares, o movimento da barra pode ser descrito como um pêndulo físico. O período de oscilações $ T $ é dado pela fórmula:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação.
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
- $ d $ é a distância do eixo de rotação ao centro de massa, que no nosso caso é $ d = x $.
Passo 5
Substituindo $ I $ e $ d $ na fórmula do período:
Simplificando $ M $ no numerador e denominador:
Passo 6
Vamos separar os termos dentro da raiz:
Para simplificar ainda mais, podemos colocar $ \frac{1}{g} $ em evidência:
Resposta
a) O período de oscilação da barra é dado por
b) O valor de $ x $ que minimiza o período é