Cascas esféricas condutoras com raios a=10 cm e b=30 cm são mantidas sob uma diferença de potencial de 100 V , de modo que:
  • V(r=b)=0
  • V(r=a)=100 V
Determine:
  1. Ve E na região entre as cascas.
  2. Se varepsilonr=2,5 na região, calcule:
  • A carga total induzida nas cascas.
  • A capacitância do capacitor.

Passo 1

Beleza, temos duas cascas esféricas concêntricas, raios a=0,10,m e b=0,30,m, com diferença de potencial de 100,V entre elas ( V(a)=100,V, V(b)=0,V). O assunto é eletrostática de condutores e capacitor esférico. Para resolver vamos usar:
  • Lei de Gauss pra achar o campo elétrico E(r) no espaço entre as cascas;
  • A relação V(r)-V(b)=-integralb^r E(r'),dr' pra achar o potencial V(r);
  • Condição de contorno V(a)-V(b)=100,V pra determinar a carga Q;
  • Depois, se inserir um dielétrico com varepsilonr=2,5, recalcular carga e capacitância.

Passo 2

Aplicando a Lei de Gauss numa superfície esférica de raio r ( a):
oint Ecdot d A ;=;Qvarepsilon0 ;Rightarrow;E(r),4pi r^2=Qvarepsilon0 ;Rightarrow;E(r)=Q4pi varepsilon0,r^2 (radial para fora)

Passo 3

Pra achar o potencial, integramos E(r) entre r e b, lembrando que V(b)=0:
V(r)-V(b);=;-integralb^r E(r'),dr' ;=;-integralb^r Q4pivarepsilon0,r'^2,dr' ;=;Q4pivarepsilon0l(1r-1br)
Como V(b)=0, fica
V(r)=Q4pivarepsilon0l(tfrac1r-tfrac1br)

Passo 4

Usando V(a)-V(b)=100,V:
100 ;=;Q4pivarepsilon0l(tfrac1a-tfrac1br) ;;Rightarrow;; Q =;4pivarepsilon0;100;l(tfrac1a-tfrac1br)^-1
Substituindo a=0,10,m, b=0,30,m e varepsilon0=8,854times10^-12,F/m, dá
Qapprox1,67times10^-9 C
Então, finalmente:
E(r)=1,67times10^-94pivarepsilon0,r^2 , V(r)=1,67times10^-94pivarepsilon0l(tfrac1r-tfrac10,30r)
Ou, mais compacto,
V(r)=100,tfrac1r-tfrac1btfrac1a-tfrac1b , E(r)=100tfrac1a-tfrac1b,1r^2

Passo 5

Agora entra o dielétrico com varepsilonr=2,5. Ele só multiplica varepsilon0 por varepsilonr nas fórmulas, então a nova carga é
Q'=varepsilonr,Q approx2,5times1,67times10^-9 ;=;4,17times10^-9 C
E a capacitância C é Q'/De:
C=Q'100 approx4,17times10^-11 F

Resposta

  1. Região entre as cascas ( a):
    • Campo elétrico:$$E®=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0,r^2}=\frac{1{,}67\times10{-9}}{4\pi\varepsilon_0,r2};\hat r. E(r)=Q4pivarepsilon0,r^2 =1,67times10^-94pivarepsilon0,r^2;hat rV®=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac1r-\tfrac1b\Bigr)=\frac{1{,}67\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac1r-\tfrac1{0{,}30}\Bigr).$$
  2. Com V(r)=Q4pivarepsilon0l(tfrac1r-tfrac1br) =1,67times10^-94pivarepsilon0l(tfrac1r-tfrac10,30r):
    • Carga total induzida (módulo): varepsilonr=2,5C.
    • Capacitância: Q'approx4,17times10^-9,F.

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