Cascas esféricas condutoras com raios
e
são mantidas sob uma diferença de potencial de 100 V , de modo que:
-
-
Determine:
-
na região entre as cascas.
-
na região, calcule:
- A carga total induzida nas cascas.
- A capacitância do capacitor.
Passo 1
Beleza, temos duas cascas esféricas concêntricas, raios
m e
m, com diferença de potencial de
V entre elas (
V,
V). O assunto é eletrostática de condutores e capacitor esférico. Para resolver vamos usar:
- Lei de Gauss pra achar o campo elétrico
no espaço entre as cascas; - A relação
pra achar o potencial ; - Condição de contorno
V pra determinar a carga ; - Depois, se inserir um dielétrico com
, recalcular carga e capacitância.
Passo 2
Aplicando a Lei de Gauss numa superfície esférica de raio
(
):
Passo 3
Pra achar o potencial, integramos
entre
e
, lembrando que
:
Como
, fica
Passo 4
Usando
V:
Substituindo
m,
m e
F/m, dá
Então, finalmente:
Ou, mais compacto,
Passo 5
Agora entra o dielétrico com
. Ele só multiplica
por
nas fórmulas, então a nova carga é
E a capacitância
é
:
Resposta
-
Região entre as cascas (
): - Campo elétrico:$$E®=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0,r^2}=\frac{1{,}67\times10{-9}}{4\pi\varepsilon_0,r2};\hat r.
V®=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac1r-\tfrac1b\Bigr)=\frac{1{,}67\times10^{-9}}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac1r-\tfrac1{0{,}30}\Bigr).$$
- Campo elétrico:$$E®=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0,r^2}=\frac{1{,}67\times10{-9}}{4\pi\varepsilon_0,r2};\hat r.
-
Com
: - Carga total induzida (módulo):
C. - Capacitância:
F.
- Carga total induzida (módulo):