Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua interface se encontra no plano
. Para
para
. Um campo elétrico uniforme
existe para
. Determine:
(a)
para
;
(b) Os ângulos que
e
fazem com a interface;
© As densidades de energia,
, em ambos os dielétricos;
(d) A energia no interior de um cubo, de 2 m de aresta, centrado em
.
(a)
(b) Os ângulos que
© As densidades de energia,
(d) A energia no interior de um cubo, de 2 m de aresta, centrado em
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede e o que vamos usar:
Temos dois dielétricos “grudados” no plano z=0. Para z≥0 o εr1=4, e para z≤0 o εr2=3. No lado z≥0 já existe um campo uniforme
Temos dois dielétricos “grudados” no plano z=0. Para z≥0 o εr1=4, e para z≤0 o εr2=3. No lado z≥0 já existe um campo uniforme
Queremos:
(a) achar no outro lado,
(b) os ângulos de e
em relação à interface,
© as densidades de energia em J/m³ nos dois dielétricos,
(d) a energia total dentro de um cubo de aresta 2 m centrado em (3,4,–5).
(a) achar
(b) os ângulos de
© as densidades de energia em J/m³ nos dois dielétricos,
(d) a energia total dentro de um cubo de aresta 2 m centrado em (3,4,–5).
Conteúdo principal: condições de contorno em dielétricos (continuidade da componente tangencial de
e da normal de
), cálculo de módulo de vetor, ângulo com plano, energia volumétrica
e energia total
.
Passo 2
Primeiro decompor
em componentes tangenciais (x,y) e normal (z).
Condição de contorno diz que:
- As componentes tangenciais de
continuam iguais de um lado pro outro, logo
- A componente normal de
é contínua, ou seja
Como
e
,
Passo 3
Juntando tudo,
Passo 4
Ângulo que cada campo faz com a interface (o “ângulo com a superfície”, isto é, o ângulo entre
e o plano z=0). Se a normal do plano é
, então o ângulo
com a interface satisfaz
porque
é complementar ao ângulo com a normal.
Calculemos os módulos (convertendo pra V/m para energia depois):
Então
Passo 5
Para a densidade de energia em cada dielétrico usamos
onde agora
deve estar em V/m e
.
Convertendo
V/m,
V/m e
F/m:
w1 = ½·(4ε₀)·(6 164 V/m)² ≈ 6,73×10⁻⁴ J/m³
w2 = ½·(3ε₀)·(6 708 V/m)² ≈ 5,98×10⁻⁴ J/m³
w1 = ½·(4ε₀)·(6 164 V/m)² ≈ 6,73×10⁻⁴ J/m³
w2 = ½·(3ε₀)·(6 708 V/m)² ≈ 5,98×10⁻⁴ J/m³
Passo 6
A energia dentro de um cubo de aresta 2 m centrado em (3,4,–5) está inteiramente no dielétrico de εr2 (porque z do cubo vai de –6 a –4). Logo
Resposta
(a)
(b) com a interface.
©
(d)
(b)
©
(d)