Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua interface se encontra no plano z=0. Para z >= 0, varepsilonr 1=4 e para z <= 0, varepsilonr 2=3. Um campo elétrico uniforme E1=5 ax-2 ay+3 az kV / m existe para z >= 0. Determine:
(a) E2 para z <= 0;
(b) Os ângulos que E1 e E2 fazem com a interface;
© As densidades de energia, em J / m^3, em ambos os dielétricos;
(d) A energia no interior de um cubo, de 2 m de aresta, centrado em (3,4,-5).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede e o que vamos usar:
Temos dois dielétricos “grudados” no plano z=0. Para z≥0 o εr1=4, e para z≤0 o εr2=3. No lado z≥0 já existe um campo uniforme
E1 = 5,ax;-;2,ay;+;3,az(kV/m)
Queremos:
(a) achar no outro lado,
(b) os ângulos de e em relação à interface,
© as densidades de energia em J/m³ nos dois dielétricos,
(d) a energia total dentro de um cubo de aresta 2 m centrado em (3,4,–5).
Conteúdo principal: condições de contorno em dielétricos (continuidade da componente tangencial de e da normal de ), cálculo de módulo de vetor, ângulo com plano, energia volumétrica e energia total .

Passo 2

Primeiro decompor E1 = (5,,-2,,3);kV/m em componentes tangenciais (x,y) e normal (z).
E2x=E1x=5, E2y=E1y=-2(kV/m)
Condição de contorno diz que:
  1. As componentes tangenciais de D1z = varepsilon1,E1z = D2z = varepsilon2,E2z continuam iguais de um lado pro outro, logo
4varepsilon0,(3,kV/m) ;=;3varepsilon0,E2z Longrightarrow E2z = 43cdot 3 =4;(kV/m)
  1. A componente normal de é contínua, ou seja
Como e ,

Passo 3

Juntando tudo,
boxedE2 = 5,ax -2,ay +4,az(kV/m)

Passo 4

Ângulo que cada campo faz com a interface (o “ângulo com a superfície”, isto é, o ângulo entre sintheta = |Ez||E|, e o plano z=0). Se a normal do plano é |E1| = raiz5^2+(-2)^2+3^2;=;raiz25+4+9=raiz38approx6,164;kV/m, , então o ângulo |E2| = raiz5^2+(-2)^2+4^2=raiz25+4+16=raiz45approx6,708;kV/m com a interface satisfaz
theta1 = arcsin!l(3/raiz38r)approx29,1^circ, theta2 = arcsin!l(4/raiz45r)approx36,6^circ
porque é complementar ao ângulo com a normal.
Calculemos os módulos (convertendo pra V/m para energia depois):
Então

Passo 5

Para a densidade de energia em cada dielétrico usamos
w = tfrac12,varepsilon,E^2,
onde agora deve estar em V/m e .
Convertendo V/m, V/m e F/m:
w1 = ½·(4ε₀)·(6 164 V/m)² ≈ 6,73×10⁻⁴ J/m³
w2 = ½·(3ε₀)·(6 708 V/m)² ≈ 5,98×10⁻⁴ J/m³

Passo 6

A energia dentro de um cubo de aresta 2 m centrado em (3,4,–5) está inteiramente no dielétrico de εr2 (porque z do cubo vai de –6 a –4). Logo
V = 2^3=8;m^3, W = w2;V approx 5,98times10^-4times8 =4,78times10^-3;J

Resposta

(a)
(b) com a interface.
©
(d)

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