Caso 2: Uma barra metálica, cuja temperatura inicial é de 20^{\circ} \mathrm{C}, cai em um recipiente que contém água fervendo e sua temperatura aumenta 2^{\circ} \mathrm{C} depois de 1 segundo.
(a) Determine a temperatura da barra metálica depois de 10 segundos.
(b) Quanto tempo deverá transcorrer para que a temperatura da barra seja de 60^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado diz que uma barra metálica com temperatura inicial T(0)=20^\circ\mathrm{C} é mergulhada em água fervendo a 100^\circ\mathrm{C}. Depois de 1 s a temperatura da barra sobe 2^\circ\mathrm{C}. Esse problema se resolve com a lei de resfriamento (ou aquecimento) de Newton, que modela a variação da temperatura pela equação diferencial
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T_s - T(t)\bigr),
onde T_s é a temperatura do meio (aqui 100^\circ\mathrm{C}) e k>0 é a constante térmica que precisamos determinar.

Passo 2

A solução geral dessa equação, aplicada ao nosso caso, é
T(t)=T_s - \bigl(T_s - T_0\bigr)\,e^{-k\,t},
onde T_0=T(0)=20^\circ\mathrm{C} e T_s=100^\circ\mathrm{C}. Logo
T(t)=100 - \bigl(100-20\bigr)\,e^{-k\,t} =100 - 80\,e^{-k\,t}.

Passo 3

Para achar k, usamos o dado T(1)=22^\circ\mathrm{C}. Substituindo em
22 = 100 - 80\,e^{-k}
temos
80\,e^{-k}=100-22=78 \quad\Longrightarrow\quad e^{-k}=\frac{78}{80}=\frac{39}{40} \quad\Longrightarrow\quad k=-\ln\!\Bigl(\frac{39}{40}\Bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{40}{39}\Bigr).

Passo 4

(a) Para t=10 s,
T(10)=100 - 80\,e^{-k\cdot10} =100 - 80\Bigl(e^{-k}\Bigr)^{10} =100 - 80\Bigl(\tfrac{39}{40}\Bigr)^{10}.
Numericamente, \bigl(39/40\bigr)^{10}\approx0{,}7765, logo
T(10)\approx100 - 80\cdot0{,}7765\approx37{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

(b) Queremos T(t)=60^\circ\mathrm{C}. Então
60=100 - 80\,e^{-k\,t} \quad\Longrightarrow\quad 80\,e^{-k\,t}=40 \quad\Longrightarrow\quad e^{-k\,t}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -k\,t=\ln\!\tfrac12=-\ln2,
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t=\frac{\ln2}{k} =\frac{\ln2}{\ln\!\bigl(40/39\bigr)}\approx27{,}4\text{ s}.

Resposta

(a) T(10)=100 - 80\bigl(\tfrac{39}{40}\bigr)^{10}\approx37{,}9^\circ\mathrm{C}.
(b) t=\dfrac{\ln2}{\ln(40/39)}\approx27{,}4\text{ segundos}.

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