Um bloco de 2 kg sujeito ao extremo de uma mola, cuja constante cuja constante tem um valor de k=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Se o bloco se move até 1 metro à esquerda de seu ponto de equilíbrio e se libera com uma velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule:
(a) \Lambda posição x(t) do objeto em cada instante t.
(b) \Lambda posição e velocidade do objeto quando se tem transcorrido 5 segundos.
(c) \Lambda amplitude, período e frequência do movimento resultante.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=2\\ \mathrm{kg} preso a uma mola de constante elástica k=50\\ \mathrm{N/m}. O bloco é deslocado até 1 metro à esquerda do ponto de equilíbrio (ou seja, x(0)=-1\\ \mathrm{m}) e solto com velocidade inicial v(0)=2\\ \mathrm{m/s}. O movimento é um M.A.S. (movimento harmônico simples) e vamos precisar da equação diferencial
x''(t) + \omega^2 x(t) = 0,
com \omega = \sqrt{k/m}.

Passo 2

Calculamos a pulsação \omega do sistema usando \omega=\sqrt{k/m}:
\omega = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

A solução geral do M.A.S. é
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).
Derivando, obtemos
v(t) = x'(t) = -A\,\omega\sin(\omega t) + B\,\omega\cos(\omega t).
Aplicamos as condições iniciais em t=0:
x(0) = A = -1,\quad v(0) = B\,\omega = 2 \implies B = \frac{2}{5} = 0{,}4.

Passo 4

Portanto a posição em função do tempo, resposta do item (a), é
x(t) = -\cos(5t) + 0{,}4\,\sin(5t).

Passo 5

Para o item (b) precisamos de x(5) e v(5). Usando
x(5) = -\cos(25) + 0{,}4\,\sin(25),
e
v(5) = -(-1)\cdot5\,\sin(25) + 0{,}4\cdot5\,\cos(25) = 5\sin(25) + 2\cos(25),
e sabendo que \cos(25)\approx0{,}9911 e \sin(25)\approx-0{,}1327, vem
x(5)\approx -0{,}9911 + 0{,}4(-0{,}1327) = -1{,}0442\\ \mathrm{m},
v(5)\approx 5(-0{,}1327) + 2(0{,}9911) = 1{,}3187\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

No item (c) amplitude, período e frequência do movimento:
Amplitude
C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(-1)^2 + (0{,}4)^2} = \sqrt{1 + 0{,}16} = \sqrt{1{,}16} \approx 1{,}077\\ \mathrm{m}.
Período
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5} \approx 1{,}2566\\ \mathrm{s}.
Frequência
f = \frac{1}{T} = \frac{5}{2\pi} \approx 0{,}796\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) x(t) = -\cos(5t) + 0{,}4\,\sin(5t).
(b) x(5)\approx -1{,}044\\ \mathrm{m},\quad v(5)\approx 1{,}319\\ \mathrm{m/s}.
(c) Amplitude C\approx1{,}077\\ \mathrm{m}, período T\approx1{,}2566\\ \mathrm{s}, frequência f\approx0{,}796\\ \mathrm{Hz}.

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