Um tanque contém inicialmente 100 litros de água com uma concentração de 1200 gramas de sal. Se o tanque recebe a cada segundo 3 litros de água com uma concentração de 50 gramas de sal por litro e, ao mesmo tempo, por uma torneira se retiram 4 litros da mistura por segundo. Calcule a quantidade de sal presente no tanque em qualquer instante de tempo.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um tanque com volume inicial de 100 L e 1200 g de sal dissolvidos. Entra água a 3 L/s com 50 g de sal por litro e sai mistura a 4 L/s. O conteúdo da matéria é modelagem por equação diferencial de primeira ordem para misturas, e vamos precisar escrever a ODE para a quantidade de sal x(t) e resolver usando fator integrante.
Passo 2
Definimos
x(t)=\text{quantidade de sal (em g) no tanque no instante }t,
e o volume da solução
V(t)=100 + (3-4)t = 100 - t.
A taxa de variação de sal é
\frac{dx}{dt} =\underbrace{3\cdot50}_{\text{influxo de sal (g/s)}}\;-\;\underbrace{4\cdot\frac{x(t)}{V(t)}}_{\text{efluxo de sal (g/s)}} =150 - \frac{4\,x}{100-t}.
Portanto a ODE é
\frac{dx}{dt} + \frac{4}{100-t}\,x = 150.
Passo 3
Para resolver \displaystyle \frac{dx}{dt} + \frac{4}{100-t}x = 150, usamos o fator integrante