Um tanque contém inicialmente 100 litros de água com uma concentração de 1200 gramas de sal. Se o tanque recebe a cada segundo 3 litros de água com uma concentração de 50 gramas de sal por litro e, ao mesmo tempo, por uma torneira se retiram 4 litros da mistura por segundo. Calcule a quantidade de sal presente no tanque em qualquer instante de tempo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um tanque com volume inicial de 100 L e 1200 g de sal dissolvidos. Entra água a 3 L/s com 50 g de sal por litro e sai mistura a 4 L/s. O conteúdo da matéria é modelagem por equação diferencial de primeira ordem para misturas, e vamos precisar escrever a ODE para a quantidade de sal x(t) e resolver usando fator integrante.

Passo 2

Definimos
x(t)=\text{quantidade de sal (em g) no tanque no instante }t,
e o volume da solução
V(t)=100 + (3-4)t = 100 - t.
A taxa de variação de sal é
\frac{dx}{dt} =\underbrace{3\cdot50}_{\text{influxo de sal (g/s)}}\;-\;\underbrace{4\cdot\frac{x(t)}{V(t)}}_{\text{efluxo de sal (g/s)}} =150 - \frac{4\,x}{100-t}.
Portanto a ODE é
\frac{dx}{dt} + \frac{4}{100-t}\,x = 150.

Passo 3

Para resolver \displaystyle \frac{dx}{dt} + \frac{4}{100-t}x = 150, usamos o fator integrante
\mu(t) =\exp\Bigl(\!\int \frac{4}{100-t}\,dt\Bigr) =\exp\bigl(-4\ln|100-t|\bigr) =(100-t)^{-4}.
Multiplicando a ODE por (100-t)^{-4} obtemos
\frac{d}{dt}\bigl[x\,(100-t)^{-4}\bigr] =150\,(100-t)^{-4}.

Passo 4

Integramos em t:
x\,(100-t)^{-4} =\int 150\,(100-t)^{-4}\,dt =150\Bigl(-\frac{(100-t)^{-3}}{3}\Bigr)+C =50\,(100-t)^{-3}+C.
Multiplicando de volta por (100-t)^4
x(t)=50\,(100-t)+C\,(100-t)^4.
Para achar C, usamos x(0)=1200:
1200=50\cdot100 + C\cdot100^4 \implies 1200=5000 + C\cdot10^8 \implies C=-\frac{3800}{10^8}=-0.000038.

Passo 5

Logo a solução é
x(t)=50\,(100-t)-0.000038\,(100-t)^4,
válida enquanto V(t)=100-t>0, isto é, para 0\le t<100.

Resposta

\boxed{ x(t)=50\,(100-t)\;-\;0.000038\,(100-t)^{4}\quad(\text{g de sal em }t\text{ segundos}) }

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