Para o caso da camada limite laminar bidimensional em uma placa plana, toma-se o seguinte perfil de velocidade adimensional:
m(n)=6 sin (n-2)
Determine a espessura da camada limite para este perfil usando a solução de perfil genérico de velocidade. Para sua resolução considere (C é uma constante):
integral sin ^2 x=x2-sin 2 x4+C

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede: a gente tem uma placa plana, camada-limite laminar 2D, e o perfil de velocidade adimensional dentro da camada é
m(n) ;=; 6,sinl(n-2r),
onde . Queremos achar a espessura dessa camada, usando o método integral (também chamado de solução de perfil genérico).
Conteúdo que vamos usar:
  • Equação integral de von Kármán (camada-limite sem gradiente de pressão), que liga o coeficiente de atrito com a evolução da espessura.
  • Definição de espessura de momento (momentum thickness) e como ela se expressa em função de .
  • Relação entre , e derivadas de .
  • Integração de (você já deixou a primitiva ).

Passo 2

  1. Equação integral de von Kármán para zero gradiente de pressão:
dthetadx ;=;Cf2,
onde
theta ,=,integral0^de
e
Cf ,=,2,tauwrho,Uinfty^2 ,=,2,murho,Uinfty,de
com theta = K,de.
  1. Como K,de é constante (vamos chamar de K;de), temos
Multiplicando tudo por :
Integramos em (e tomamos para zerar a constante):

Passo 3

Agora só falta achar m'(n)=6cos(n-2) ;;Rightarrow;; m'(0)=6cos(-2)=6cos2 e K=integral0^1m(n)l[1-m(n)r],dn =integral0^1l(6sin(n-2)-36sin^2(n-2)r),dn :
  1. integral0^1 6sin(n-2),dn =6l[-cos(n-2)r]0^1 =6l(-cos(-1)+cos(-2)r) =6l(cos2-cos1r), ; integral0^1 36sin^2(n-2),dn =36l[tfracn-22-tfracsin2(n-2)4r]0^1 =36l(tfrac12+sin2-sin44r) ;
K =6(cos2-cos1);-;36l(tfrac12+tfracsin2-sin44r) =6cos2-6cos1-18-9(sin2-sin4)
Separamos em duas integrais:
e
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Resposta

Substituindo em boxed de, fica
de
Em valor aproximado dá

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