Para o caso do caminhante aleatório a aproximação gaussiana é dada por
Sabendo que
é a constante de normalização calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o “caminhante aleatório” usando uma aproximação gaussiana. A gente precisa calcular a constante de normalização $ P_{0} $. Basicamente, vamos usar conceitos de probabilidade e funções gaussianas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma constante de normalização. Em probabilidade, a soma (ou integral) de todas as probabilidades de todos os eventos possíveis deve ser igual a 1. Isso garante que alguma coisa vai acontecer. No nosso caso, a função de probabilidade é dada por:
Queremos encontrar $ P_{0} $ de forma que a integral de $ P_{G}(N_{1}) $ para todo $ N_{1} $ seja igual a 1.
Passo 3
Vamos escrever isso matematicamente:
Substituindo a expressão da função de probabilidade:
Passo 4
Agora, podemos tirar $ P_{0} $ da integral porque é uma constante:
Passo 5
A integral de uma função gaussiana padrão é conhecida. Sabemos que:
No nosso caso, $ \mu = \left\langle N_{1} \right\rangle $ e $ \sigma = \Delta N_{1}^{*} $. Então a integral fica:
Passo 6
Substituindo de volta na equação com $ P_{0} $:
Passo 7
Agora é só resolver para $ P_{0} $:
Resposta
A constante de normalização é