Defina cisão de um conjunto
e apresentar exemplos. Em seguida defina cisão trivial.
Passo 1
O exercício pede para definir o que é uma cisão de um conjunto
, dar exemplos e depois especificar o que chamamos de cisão trivial. Vamos usar conceitos de teoria de conjuntos, especialmente o de partição.
Passo 2
Uma cisão (ou partição) de
é uma coleção de subconjuntos não vazios de
tais que eles são mutuamente disjuntos e sua união é exatamente
. Em outras palavras, se
é uma cisão de
, então vale:
e para todo
com cada
.
Passo 3
Para ilustrar, aqui vão dois exemplos bem simples:
- Dividindo o intervalo
em duas partes:
Então
2) Partição dos números naturais
Então
e
, formando uma cisão de
.
Passo 4
Chamamos de cisão trivial de
aquela que não dá nenhuma “quebra” relevante em
. Existem dois casos típicos:
- A cisão em um único bloco, isto é,
. - A cisão em blocos unitários (singletons), isto é,
.
Resposta
Uma cisão de
é uma coleção de subconjuntos não vazios, mutuamente disjuntos, cuja união é
. Exemplos: dividir
em
e
; ou particionar
em pares e ímpares. A cisão trivial é aquela que ou não divide de fato (o único bloco é
) ou que separa tudo em blocos unitários (todos os singletons
,
).