Defina cisão de um conjunto X subset R e apresentar exemplos. Em seguida defina cisão trivial.

Passo 1

O exercício pede para definir o que é uma cisão de um conjunto XsubsetR, dar exemplos e depois especificar o que chamamos de cisão trivial. Vamos usar conceitos de teoria de conjuntos, especialmente o de partição.

Passo 2

Uma cisão (ou partição) de X é uma coleção de subconjuntos não vazios de X tais que eles são mutuamente disjuntos e sua união é exatamente X. Em outras palavras, se C=Aiiin I é uma cisão de X, então vale:
cupiin I Ai = X,
e para todo ineq j:
Ai cap Aj = emptyset,
com cada Aineqemptyset.

Passo 3

Para ilustrar, aqui vão dois exemplos bem simples:
  1. Dividindo o intervalo [0,1] em duas partes:
A1 = [0,0.5), A2 = [0.5,1]
Então A1cup A2=[0,1] e , logo A1cap AA2=emptyset é uma cisão de A1,A2.
2) Partição dos números naturais [0,1] em pares e ímpares:
Nééí
Então E = ninN:n é par, O = ninN:n é ímpar e Ecup O=N, formando uma cisão de Ecap O=emptyset.

Passo 4

Chamamos de cisão trivial de X aquela que não dá nenhuma “quebra” relevante em X. Existem dois casos típicos:
  • A cisão em um único bloco, isto é, X.
  • A cisão em blocos unitários (singletons), isto é, x:xin X.

Resposta

Uma cisão de X é uma coleção de subconjuntos não vazios, mutuamente disjuntos, cuja união é X. Exemplos: dividir [0,1] em [0,0.5) e [0.5,1]; ou particionar N em pares e ímpares. A cisão trivial é aquela que ou não divide de fato (o único bloco é X) ou que separa tudo em blocos unitários (todos os singletons x, xin X).

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