Em caso de comergencia calcule a soma da série:
sumn=1^infty ln (nn+1)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência e, se convergente, calcular
sumn=1^infty ln!l(tfracnn+1r)
Estamos tratando de uma série numérica cujos termos envolvem logaritmos. Para verificar convergência, vamos tentar reescrever o termo geral de forma que a soma parcial telescope.

Passo 2

Repare que
ln!l(tfracnn+1r) =ln(n)-ln(n+1)
Definindo a soma parcial
SN=sumn=1^Nln!l(tfracnn+1r) =sumn=1^Nl[ln(n)-ln(n+1)r],
vemos que muitos termos se cancelam em sequência.

Passo 3

Ao expandir,
SN=[ln(1)-ln(2)]+[ln(2)-ln(3)]+cdots+[ln(N)-ln(N+1)] =ln(1)-ln(N+1)
Como ln(1)=0, temos
SN=-ln(N+1)
Quando Ntoinfty, ln(N+1)toinfty e, portanto,
SNto -infty
Isso significa que a série não converge a um valor finito; ela diverge para -infty.

Resposta

A série diverge (vai a -infty), logo não há soma finita.

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