Use o teorema da divergência para calcular a integral integral duplaS F " d S, isto é, calcule o fluxo através de S
F(x, y, z)=y i+x y j-z k, S é a região dentro do cilindro sólido x^2+y^2 <= 4, entre o plano z=0 e o paraboloide z=x^2+y^2. thomas 12ed exer 16.8.7

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=y, i + x y, j - z, k através da superfície fechada S que envolve a região E definida por
x^2+y^2<=4, 0<= z<= x^2+y^2
Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
integral duplaS Fcdot d S ;=;integral triplaE(nablacdot F),dV,
e coordenadas cilíndricas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Calcular a divergência de F. Como
F=(y,;x y,;-z),
temos
nablacdot F =partial ypartial x +partial(xy)partial y +partial(-z)partial z =0 + x -1 = x - 1

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), x=rcostheta e dV=r,dr,dtheta,dz. A região E fica
0<=theta<=2pi, 0<= r<=2, 0<= z<= r^2
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integral duplaS Fcdot d S =integral triplaE(x-1),dV =integral0^2pi!!integral0^2!!integral0^r^2(rcostheta -1),r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^r^2(rcostheta -1),r,dz =(rcostheta -1),r,[z]0^r^2 =(rcostheta -1),r^3 =r^4costheta -r^3
Então
integral0^2pi!!integral0^2(r^4costheta - r^3),dr,dtheta =l[integral0^2picostheta,dthetar]l[integral0^2r^4,drr] -l[integral0^2pidthetar]l[integral0^2r^3,drr]
O primeiro produto vale zero porque integral0^2picostheta,dtheta=0. O segundo é
-,2picdot2^44 =-,2picdot4 =-8pi

Resposta

-8pi

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