1- Descreva o método de Newton para resolver equação.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o método de Newton para resolver a equação
. O conteúdo é de análise numérica (métodos de raízes) e vamos precisar de uma função
diferenciável num intervalo que contenha a raiz, de sua derivada
e de um chute inicial
.
Passo 2
Começamos com a expansão de Taylor de primeira ordem de
em torno de
:
Para achar
tal que
, impomos
e daí isolamos
.
Passo 3
Da equação anterior obtém-se a fórmula iterativa de Newton:
O algoritmo é:
- Escolher um chute inicial
. - Calcular
pela fórmula acima. - Repetir até que
ou até atingir número máximo de iterações.
Passo 4
Sobre convergência: se existir uma raiz
com
e
, o método converge localmente de forma quadrática, ou seja, o erro satisfaça aproximadamente
para
grande e algum
.
Passo 5
Cuidados e limitações:
- É preciso calcular
e garantir que não seja zero. - Um chute inicial distante de
pode levar à divergência ou a raízes diferentes. - Para funções com comportamentos ruins ou derivadas nulas, há variantes (Newton modificado, métodos híbridos).
Resposta
O método de Newton é um procedimento iterativo para aproximar a solução de
definido por
iniciando em
e repetindo até
. Tem convergência quadrática local quando
é contínua e não nula na raiz.