1- Descreva o método de Newton para resolver equação.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o método de Newton para resolver a equação ,f(x)=0. O conteúdo é de análise numérica (métodos de raízes) e vamos precisar de uma função f diferenciável num intervalo que contenha a raiz, de sua derivada f' e de um chute inicial x0.

Passo 2

Começamos com a expansão de Taylor de primeira ordem de f em torno de xn:
f(x)approx f(xn)+f'(xn),(x - xn)
Para achar xn+1 tal que f(xn+1)=0, impomos
0 = f(xn) + f'(xn),(xn+1-xn)
e daí isolamos xn+1.

Passo 3

Da equação anterior obtém-se a fórmula iterativa de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
O algoritmo é:
  1. Escolher um chute inicial x0.
  2. Calcular xn+1 pela fórmula acima.
  3. Repetir até que lvert xn+1-xnrvert<varepsilon ou até atingir número máximo de iterações.

Passo 4

Sobre convergência: se existir uma raiz alpha com f(alpha)=0 e f'(alpha)neq0, o método converge localmente de forma quadrática, ou seja, o erro satisfaça aproximadamente
lvert xn+1-alpharvert <= C,lvert xn-alpharvert^2
para n grande e algum C>0.

Passo 5

Cuidados e limitações:
  • É preciso calcular f'(xn) e garantir que não seja zero.
  • Um chute inicial distante de alpha pode levar à divergência ou a raízes diferentes.
  • Para funções com comportamentos ruins ou derivadas nulas, há variantes (Newton modificado, métodos híbridos).

Resposta

O método de Newton é um procedimento iterativo para aproximar a solução de ,f(x)=0 definido por
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),
iniciando em x0 e repetindo até lvert xn+1-xnrvert<varepsilon. Tem convergência quadrática local quando f' é contínua e não nula na raiz.

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