Estude os máximos e mínimos das funções dadas com suas respectivas restrições:
f(x, y)=x^2+y^3-3 x-3 y e x+2 y=3

Passo 1

O enunciado pede para estudar os extremos de
f(x,y)=x^2+y^3-3x-3y
sob a restrição
x+2y=3
O conteúdo é otimização de função de duas variáveis com restrição, e aqui vamos usar o método de substituição para reduzir a um problema de uma variável.

Passo 2

Da restrição ;x+2y=3; isolamos
x=3-2y
e substituímos em f para obter uma função de uma variável, que chamamos de g(y):
g(y)=l(3-2yr)^2+y^3-3l(3-2yr)-3y
Expandindo e simplificando,
g(y)=9-12y+4y^2+y^3-9+6y-3y = y^3+4y^2-9y

Passo 3

Calculamos a derivada de g:
g'(y)=3y^2+8y-9
Para achar os pontos críticos, resolvemos
3y^2+8y-9=0,
cuja solução é
y1,2=-8pmraiz8^2+4cdot3cdot92cdot3 =-8pmraiz1726 =-4pmraiz433

Passo 4

O teste da segunda derivada de g é
g''(y)=6y+8
Em y1=-4+raiz433 temos
g''l(y1r)=6cdot-4+raiz433+8 =2(-4+raiz43)+8 = -8+2raiz43+8 =2raiz43>0,
portanto é mínimo local.
Em y2=-4-raiz433 vem
g''l(y2r)=2(-4-raiz43)+8 =-8-2raiz43+8 =-2raiz43<0,
logo é máximo local.

Passo 5

Voltando à variável x pela restrição x=3-2y, os pontos críticos são
l(x1,y1r) =l(tfrac17-2raiz433,,tfrac-4+raiz433r) e l(x2,y2r) =l(tfrac17+2raiz433,,tfrac-4-raiz433r)
Para cada um podemos calcular o valor de f. Usando uma forma simplificada um obtém
fl(x1,y1r) =452-86raiz4327, fl(x2,y2r) =452+86raiz4327

Resposta

O ponto
l(tfrac17-2raiz433,,tfrac-4+raiz433r)
é mínimo local, com
fmin=452-86raiz4327
O ponto
l(tfrac17+2raiz433,,tfrac-4-raiz433r)
é máximo local, com
fmax=452+86raiz4327

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