Estude os máximos e mínimos das funções dadas com suas respectivas restrições:
e
Passo 1
O enunciado pede para estudar os extremos de
sob a restrição
O conteúdo é otimização de função de duas variáveis com restrição, e aqui vamos usar o método de substituição para reduzir a um problema de uma variável.
Passo 2
Da restrição
isolamos
e substituímos em
para obter uma função de uma variável, que chamamos de
:
Expandindo e simplificando,
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Para achar os pontos críticos, resolvemos
cuja solução é
Passo 4
O teste da segunda derivada de
é
Em
temos
portanto é mínimo local.
Em vem
Em
logo é máximo local.
Passo 5
Voltando à variável
pela restrição
, os pontos críticos são
Para cada um podemos calcular o valor de
. Usando uma forma simplificada um obtém
Resposta
O ponto
é mínimo local, com
O ponto
é máximo local, com