Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral é \dfrac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}}.
  • Os termos são não-negativos para todo n (pois são potências positivas no numerador e denominador).
  • Precisamos decidir convergência absoluta / simples; como os termos são não-negativos, basta decidir se a soma dos termos é finita.

Passo 2

Vamos lembrar duas ferramentas que usamos com frequência em provas:
  1. Teste da comparação direta: se temos duas sequências de termos não-negativos (a_n) e (b_n) tais que 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum índice, e se a série \sum b_n converge, então a série \sum a_n também converge. Intuição: se cada a_n é menor que um termo correspondente de uma série finita, a soma não pode “explodir”.
  2. Série geométrica: a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Exemplo simples: para r=\tfrac{1}{3} temos \sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{n} = \dfrac{1/3}{1-1/3} = \dfrac{1/3}{2/3} = \dfrac{1}{2}.

Passo 3

Aplicando essas ideias à nossa série: observe que, para todo n\ge 1,
3^{n}+6^{n} \ge 6^{n},
pois 3^{n} é não-negativo. Como o denominador é maior ou igual a 6^{n}, o quociente fica menor ou igual ao caso com 6^{n} no denominador. Logo,
0 \le \frac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}} \le \frac{2^{n}}{6^{n}}.

Passo 4

Simplificamos a expressão do lado direito:
\frac{2^{n}}{6^{n}} = \left(\frac{2}{6}\right)^{n} = \left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Portanto temos a desigualdade termo a termo
0 \le \frac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}} \le \left(\frac{1}{3}\right)^{n}
para todo n\ge 1.

Passo 5

A série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{n} converge porque \left|\tfrac{1}{3}\right|<1. Pelo teste da comparação direta (Passo 2) com a_n=\dfrac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}} e b_n=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}, concluímos que a série original também converge.
Além disso, obtemos um limite superior para a soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}} \le \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{n} = \frac{1}{2}.

Resposta

Convergente (por comparação com a série geométrica de razão \tfrac{1}{3}).

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