Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
O termo geral é \dfrac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}}.
Os termos são não-negativos para todo n (pois são potências positivas no numerador e denominador).
Precisamos decidir convergência absoluta / simples; como os termos são não-negativos, basta decidir se a soma dos termos é finita.
Passo 2
Vamos lembrar duas ferramentas que usamos com frequência em provas:
Teste da comparação direta: se temos duas sequências de termos não-negativos (a_n) e (b_n) tais que 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum índice, e se a série \sum b_n converge, então a série \sum a_n também converge. Intuição: se cada a_n é menor que um termo correspondente de uma série finita, a soma não pode “explodir”.
Série geométrica: a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
A série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{3}\right)^{n} converge porque \left|\tfrac{1}{3}\right|<1. Pelo teste da comparação direta (Passo 2) com a_n=\dfrac{2^{n}}{3^{n}+6^{n}} e b_n=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}, concluímos que a série original também converge.
Além disso, obtemos um limite superior para a soma: