Sabendo que
, demonstre que:
(c)
ou 3 .
(c)
Passo 1
O enunciado dá que
e pede para mostrar que
é igual a
ou a
.
Informações relevantes dadas:
.
O que devemos provar: que qualquer divisor comum de e de
só pode ser
ou
.
Informações relevantes dadas:
O que devemos provar: que qualquer divisor comum de
Passo 2
Definimos
Explicação didática:
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Trabalhar com
facilita usar propriedades de divisibilidade e aritmética modular: se um primo
divide
, então
divide ambos
e
.
Passo 3
Tomemos um primo arbitrário
que divide
. Então
Da primeira divisibilidade obtemos, em aritmética modular,
Explicação didática:
significa que
é congruente a
módulo
, ou seja,
.
Passo 4
Substituímos
na expressão
. Então
Calculando o lado direito:
Portanto
Como
divide
, concluímos que
Passo 5
A partir de
temos duas possibilidades para o primo
:
- ou
, - ou
.
Explicação didática: Se um primo divide um produto, então ele divide pelo menos um dos fatores. Aqui os fatores são
e
; se
então
.
Passo 6
Mostramos que não pode ocorrer
. De fato, se
e recordando que
, então
também (porque
). Isso implicaria
, o que contradiz a hipótese
. Portanto a opção
é impossível. Logo a única possibilidade é
isto é,
.
Passo 7
Concluímos que todo primo divisor
de
é
. Assim
é uma potência de
:
Aqui
corresponde a
.
Passo 8
Precisamos agora limitar
para mostrar que
(ou seja, que
). Suponha, por absurdo, que
. Então
e
. Como antes,
e, substituindo,
Pela suposição
segue
, ou seja,
Em aritmética módulo
, os quadrados possíveis são
ou
;
implica
. Então
. Mas
implica, em particular,
, então
também. Isso contradiz
. Portanto a suposição
é impossível, logo
.
Passo 9
Juntando os resultados:
é uma potência de
(Passo 7) e não pode ser múltipla de
(Passo 8). Assim
só pode ser
(quando
) ou
(quando
). Portanto
Passo 10
Para fixar a intuição, um exemplo onde o valor é
: tome
,
. Aqui
, e
logo
. Assim
realmente ocorre como valor possível.