Sabendo que \operatorname{mdc}(a . b)=1, demonstre que:
(c) \operatorname{mdc}\left(a+b, a^{2}-a b+b^{2}\right)=1 ou 3 .

Passo 1

O enunciado dá que \operatorname{mdc}(a,b)=1 e pede para mostrar que
\operatorname{mdc}\bigl(a+b,\;a^{2}-ab+b^{2}\bigr)
é igual a 1 ou a 3.
Informações relevantes dadas:
\operatorname{mdc}(a,b)=1.
O que devemos provar: que qualquer divisor comum de a+b e de a^{2}-ab+b^{2} só pode ser 1 ou 3.

Passo 2

Definimos
d=\operatorname{mdc}\bigl(a+b,\;a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
Explicação didática: \operatorname{mdc}(x,y) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente x e y. Trabalhar com d facilita usar propriedades de divisibilidade e aritmética modular: se um primo p divide d, então p divide ambos a+b e a^{2}-ab+b^{2}.

Passo 3

Tomemos um primo arbitrário p que divide d. Então
p\mid (a+b) \qquad\text{e}\qquad p\mid (a^{2}-ab+b^{2}).
Da primeira divisibilidade obtemos, em aritmética modular,
a\equiv -b \pmod{p}.
Explicação didática: p\mid(a+b) significa que a+b é congruente a 0 módulo p, ou seja, a\equiv -b\pmod{p}.

Passo 4

Substituímos a\equiv -b\pmod{p} na expressão a^{2}-ab+b^{2}. Então
a^{2}-ab+b^{2}\equiv (-b)^{2}-(-b)b+b^{2}\pmod{p}.
Calculando o lado direito:
(-b)^{2}-(-b)b+b^{2}=b^{2}+b^{2}+b^{2}=3b^{2}.
Portanto
a^{2}-ab+b^{2}\equiv 3b^{2}\pmod{p}.
Como p divide a^{2}-ab+b^{2}, concluímos que
p\mid 3b^{2}.

Passo 5

A partir de p\mid 3b^{2} temos duas possibilidades para o primo p:
  • ou p\mid 3,
  • ou p\mid b.
Explicação didática: Se um primo divide um produto, então ele divide pelo menos um dos fatores. Aqui os fatores são 3 e b^{2}; se p\mid b^{2} então p\mid b.

Passo 6

Mostramos que não pode ocorrer p\mid b. De fato, se p\mid b e recordando que p\mid(a+b), então p\mid a também (porque a=(a+b)-b). Isso implicaria \operatorname{mdc}(a,b)\ge p>1, o que contradiz a hipótese \operatorname{mdc}(a,b)=1. Portanto a opção p\mid b é impossível. Logo a única possibilidade é
p\mid 3,
isto é, p=3.

Passo 7

Concluímos que todo primo divisor p de d é 3. Assim d é uma potência de 3:
d=3^{k}\quad\text{para algum inteiro }k\ge 0.
Aqui k=0 corresponde a d=1.

Passo 8

Precisamos agora limitar k para mostrar que k\le 1 (ou seja, que 9\nmid d). Suponha, por absurdo, que 9\mid d. Então 9\mid(a+b) e 9\mid(a^{2}-ab+b^{2}). Como antes, a\equiv -b\pmod{9} e, substituindo,
a^{2}-ab+b^{2}\equiv 3b^{2}\pmod{9}.
Pela suposição 9\mid(a^{2}-ab+b^{2}) segue 3b^{2}\equiv 0\pmod{9}, ou seja,
b^{2}\equiv 0\pmod{3}.
Em aritmética módulo 3, os quadrados possíveis são 0 ou 1; b^{2}\equiv 0\pmod{3} implica b\equiv 0\pmod{3}. Então 3\mid b. Mas a\equiv -b\pmod{9} implica, em particular, a\equiv -b\pmod{3}, então 3\mid a também. Isso contradiz \operatorname{mdc}(a,b)=1. Portanto a suposição 9\mid d é impossível, logo k\le 1.

Passo 9

Juntando os resultados: d é uma potência de 3 (Passo 7) e não pode ser múltipla de 9 (Passo 8). Assim d só pode ser 1 (quando k=0) ou 3 (quando k=1). Portanto
\operatorname{mdc}\bigl(a+b,\;a^{2}-ab+b^{2}\bigr)\in\{1,3\}.

Passo 10

Para fixar a intuição, um exemplo onde o valor é 3: tome a=2, b=1. Aqui \operatorname{mdc}(2,1)=1, e
a+b=3,\qquad a^{2}-ab+b^{2}=4-2+1=3,
logo \operatorname{mdc}(3,3)=3. Assim 3 realmente ocorre como valor possível.

Resposta

\,1 ou \,3

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