Caso convirjam, determine as integrais impróprias abaixo, caso sejam divergentes, justifique.
2.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+3}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é \dfrac{1}{x^{2}+3}.
  • Os limites de integração são -\infty e \infty, portanto a integral é imprópria por causa dos limites infinitos.
  • Não há singularidade finita no integrando (já que x^{2}+3>0 para todo x), então o único cuidado é com os limites infinitos.
  • A função é uma função par, isto é, para todo x vale \dfrac{1}{(-x)^{2}+3}=\dfrac{1}{x^{2}+3}. Isso vai facilitar os cálculos.

Passo 2

Definimos corretamente a integral imprópria como limite. Uma forma prática e segura é usar a simetria (função par) e escrever
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+3} =2\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+3} =2\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\frac{dx}{x^{2}+3}.
Explicação do porquê: como a função é par, a área de (-\infty,0) é igual à de (0,\infty), então basta calcular a integral de 0 a \infty e multiplicar por 2. A convergência da integral será verificada ao observar o limite acima.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de \dfrac{1}{x^{2}+3}. Usamos a fórmula padrão
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\bigg(\frac{x}{a}\bigg)+C,
onde a>0. Vou derivar essa fórmula rapidamente para você poder reproduzir na prova: faça a substituição x=a\tan\theta. Então dx=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e
x^{2}+a^{2}=a^{2}\tan^{2}\theta+a^{2}=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
Assim
\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\int\frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta}=\int\frac{d\theta}{a}=\frac{\theta}{a}+C.
Voltando para x, temos \theta=\arctan\!\big(\tfrac{x}{a}\big), logo a primitiva é \dfrac{1}{a}\arctan\!\big(\tfrac{x}{a}\big)+C, conforme anunciado.

Passo 4

No nosso caso a^{2}=3, logo a=\sqrt{3}. Uma primitiva de \dfrac{1}{x^{2}+3} é
F(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\bigg(\frac{x}{\sqrt{3}}\bigg).
Substituímos na integral definida de 0 a R:
\int_{0}^{R}\frac{dx}{x^{2}+3} =F(R)-F(0) =\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\bigg(\frac{R}{\sqrt{3}}\bigg)-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(0).
Como \arctan(0)=0, isso simplifica para
\int_{0}^{R}\frac{dx}{x^{2}+3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\bigg(\frac{R}{\sqrt{3}}\bigg).

Passo 5

Voltando à integral imprópria com o fator 2 e passando ao limite,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+3} =2\lim_{R\to\infty}\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\bigg(\frac{R}{\sqrt{3}}\bigg) =\frac{2}{\sqrt{3}}\lim_{R\to\infty}\arctan\!\bigg(\frac{R}{\sqrt{3}}\bigg).
Sabemos que \lim_{t\to\infty}\arctan(t)=\dfrac{\pi}{2}. Portanto
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}.
Comentário final sobre convergência: o resultado é finito, logo a integral converge. Intuitivamente, para grandes |x| o integrando se comporta como \dfrac{1}{x^{2}}, e integráveis com decaimento 1/x^{2} no infinito.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{3}}

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