Caso convirjam, determine as integrais impróprias abaixo, caso sejam divergentes, justifique.
2.
2.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral imprópria
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e , portanto a integral é imprópria por causa dos limites infinitos. - Não há singularidade finita no integrando (já que
para todo ), então o único cuidado é com os limites infinitos. - A função é uma função par, isto é, para todo
vale . Isso vai facilitar os cálculos.
Passo 2
Definimos corretamente a integral imprópria como limite. Uma forma prática e segura é usar a simetria (função par) e escrever
Explicação do porquê: como a função é par, a área de
é igual à de
, então basta calcular a integral de
a
e multiplicar por
. A convergência da integral será verificada ao observar o limite acima.
Passo 3
Precisamos de uma primitiva de
. Usamos a fórmula padrão
onde
. Vou derivar essa fórmula rapidamente para você poder reproduzir na prova: faça a substituição
. Então
e
Assim
Voltando para
, temos
, logo a primitiva é
, conforme anunciado.
Passo 4
No nosso caso
, logo
. Uma primitiva de
é
Substituímos na integral definida de
a
:
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Voltando à integral imprópria com o fator
e passando ao limite,
Sabemos que
. Portanto
Comentário final sobre convergência: o resultado é finito, logo a integral converge. Intuitivamente, para grandes
o integrando se comporta como
, e integráveis com decaimento
no infinito.