Cálculo da primitiva de f(x)=e^{x}\operatorname{sen}(x) usando integração por partes duas vezes (método padrão para produtos com exponencial e seno/cosseno).
Começamos com
I=\int e^{x}\sin x\,dx.
Faça integração por partes escolhendo u=\sin x e dv=e^{x}dx. Então du=\cos x\,dx e v=e^{x}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
I = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx.
Chame a segunda integral de J:
J=\int e^{x}\cos x\,dx.
Integre J por partes novamente, escolhendo u=\cos x e dv=e^{x}dx. Então du=-\sin x\,dx e v=e^{x}. Assim
J = e^{x}\cos x - \int e^{x}(-\sin x)\,dx = e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin x\,dx = e^{x}\cos x + I.
Voltando para a expressão de I,
I = e^{x}\sin x - J = e^{x}\sin x - (e^{x}\cos x + I).
Reorganizando para isolar I,
I = e^{x}\sin x - e^{x}\cos x - I,
portanto
2I = e^{x}(\sin x - \cos x).
Logo a primitiva é
I = \frac{1}{2}e^{x}(\sin x - \cos x) + C.
Aqui C é a constante de integração. Comentário curto sobre a fórmula: isso é uma fórmula padrão obtida ao aplicar integração por partes duas vezes; o fator 2 aparece porque I reaparece na segunda integração por partes.
Passo 4
Agora usamos essa primitiva para calcular a integral definida truncada e, em seguida, o limite. Seja
\int_{a}^{0} e^{x}\sin x\,dx = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{a}(\sin a - \cos a) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^{a}(\cos a - \sin a).
Agora tome o limite quando a\to -\infty. Note que \sin a e \cos a são funções limitadas (entre -1 e 1), então \cos a - \sin a é limitada por |\cos a - \sin a|\le |\cos a|+|\sin a|\le 2. Assim
\left|\frac{1}{2}e^{a}(\cos a - \sin a)\right| \le \frac{1}{2}e^{a}\cdot 2 = e^{a}.
Como a\to -\infty temos e^{a}\to 0, portanto o termo com e^{a} tende a 0. Logo
Concluímos que a integral imprópria converge e seu valor é -\tfrac{1}{2}.
Passo 5
Resumo didático e dica para a prova: quando aparecer integrais do tipo \int e^{x}\sin x\,dx ou \int e^{x}\cos x\,dx, lembre-se da técnica de integrar por partes duas vezes; você obterá uma equação linear para a integral que permite resolver diretamente. Para verificar convergência com limites infinitos, sempre transforme em limite de integrais definidas e mostre que os termos com e^{a} (ou outra função que tende a zero) multiplicando uma função limitada vão a zero.