Caso exista, calcule o limite
lim (x, y) (0,0) 1x^2+y^2 cdot sen(x^2+y^2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular (\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1}{x2+y2},\sin(x2+y2). O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e vamos precisar usar a ideia de coordenadas polares e o limite trigonométrico fundamental (\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Note que a expressão depende apenas de x^2+y^2. Então introduzimos a variável radial r com
r=raizx^2+y^2Longrightarrow x^2+y^2=r^2
Reescrevendo o limite em função de r:
1x^2+y^2,sin(x^2+y^2)=sin(r^2)r^2

Passo 3

À medida que (x,y)to(0,0) temos rto0^+. Então podemos usar
limrto0^+sin(r^2)r^2=limtto0sin tt=1

Passo 4

Portanto, o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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