1. z=x^2-y tg x ; x=u / v, y=u^2 v^2

Passo 1

A gente tem a função z = x^2 - ytan x onde x = u/v e y = u^2v^2. O objetivo é calcular partial z/partial u e partial z/partial v usando derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, derivamos z em relação a x e y. As fórmulas são:
partial zpartial x = 2x - ysec^2 x,partial zpartial y = -tan x

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a u e v. São elas:
partial xpartial u = 1v,partial xpartial v = -uv^2
partial ypartial u = 2u,v^2,partial ypartial v = 2u^2,v

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para as duas variáveis:
partial zpartial u = partial zpartial xpartial xpartial u + partial zpartial ypartial ypartial u,
partial zpartial v = partial zpartial xpartial xpartial v + partial zpartial ypartial ypartial v

Passo 5

Finalmente, substituímos x = u/v e y = u^2v^2 e simplificamos:
partial zpartial u = 2uv^2 - u^2vsec^2l(tfracuvr) - 2u,v^2tanl(tfracuvr),
partial zpartial v = -2u^2v^3 + u^3sec^2l(tfracuvr) - 2u^2vtanl(tfracuvr)

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 2uv^2 - u^2vsec^2l(tfracuvr) - 2u,v^2tanl(tfracuvr),
partial zpartial v = -2u^2v^3 + u^3sec^2l(tfracuvr) - 2u^2vtanl(tfracuvr)

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