Suponha que
esteja definida implicitamente em função de
e
pela equação
Encontre uma equação para o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
A função é dada implicitamente por x z² + y² arctan(y+z) + x y² = 1 + π/4, e queremos o plano tangente em P(1,1,0). Para isso usamos derivação implícita e a fórmula do plano tangente
.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
de modo que F(x,y,z)=0 descreve a superfície. Pela derivação implícita:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de F:
Passo 4
Avaliamos em P=(1,1,0):
Passo 5
Logo,
Substituindo na fórmula do plano tangente, obtemos: z - 0 = -2(x - 1) - (π+5)(y - 1).
Resposta
z = -2(x-1) - (π+5)(y-1)