Suponha que z esteja definida implicitamente em função de x e y pela equação
x z^2+y^2 arctan (y+z)+x y^2=1+pi4
Encontre uma equação para o plano tangente ao gráfico de z no ponto P=(1,1,0).

Passo 1

A função é dada implicitamente por x z² + y² arctan(y+z) + x y² = 1 + π/4, e queremos o plano tangente em P(1,1,0). Para isso usamos derivação implícita e a fórmula do plano tangente z - z₀ = zx(x₀,y₀)(x - x₀) + zy(x₀,y₀)(y - y₀).

Passo 2

Definimos a função auxiliar
F(x,y,z) = x z^2 + y^2 arctan(y+z) + x y^2 - gl(1 + pi4gr),
de modo que F(x,y,z)=0 descreve a superfície. Pela derivação implícita:
partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = z^2 + y^2,
Fy = 2yarctan(y+z) + y^21+(y+z)^2 + 2xy,
Fz = 2xz + y^21+(y+z)^2

Passo 4

Avaliamos em P=(1,1,0):
Fx(1,1,0) = 0^2 + 1^2 = 1,
Fy(1,1,0) = 2cdot1cdotpi4 + 11+1^2 + 2cdot1cdot1 = pi2 + 12 + 2 = pi2 + 52,
Fz(1,1,0) = 2cdot1cdot0 + 11+1^2 = 12

Passo 5

Logo,
zx(1,1) = -11/2 = -2, zy(1,1) = -pi2+521/2 = -(pi+5)
Substituindo na fórmula do plano tangente, obtemos: z - 0 = -2(x - 1) - (π+5)(y - 1).

Resposta

z = -2(x-1) - (π+5)(y-1)

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