Caso exista, calcule o limite
lim (x, y) (0,0) (1+y^2) cdot sen(x)x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de lim(x,y)to(0,0) (1+y^2)cdotsin(x)x. O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e vamos precisar usar a propriedade de limite de produto e o limite notável de sin(x)/x.

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares: g(x,y)=1+y^2 e h(x,y)=sin(x)x. Se ambos os limites existem quando (x,y)to(0,0), então lim f(x,y)=lim g(x,y)cdotlim h(x,y).

Passo 3

Calculamos primeiro lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=lim(x,y)to(0,0)(1+y^2). Como não depende de x e yto0, fica
lim(x,y)to(0,0)(1+y^2)=1+0^2=1
Em seguida, usamos o limite notável de sin(x)/x. Temos
lim(x,y)to(0,0)sin(x)x=limxto0sin(x)x=1

Passo 4

Aplicando a propriedade de limite de produto, obtemos
lim(x,y)to(0,0)(1+y^2)cdotsin(x)x=l(lim g(x,y)r)cdotl(lim h(x,y)r)=1cdot1=1

Resposta

1

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