Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre a medida da área:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas
(uma parábola abrindo para a esquerda) e
(reta) e depois calcular a área dessa região. O conteúdo é cálculo de área por integração simples, usando interseções e integrando em relação a
.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção impondo
em
. Substituindo dá
, ou seja,
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Logo, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Isolamos
em função de
nas duas curvas para ver qual é o limite direito e esquerdo em cada altura
:
• Reta: .
• Reta:
• Parábola:
⇒
Para um valor intermediário, por exemplo , a reta dá
e a parábola dá
, então a reta é o limite esquerdo e a parábola, o direito.
Para um valor intermediário, por exemplo
Passo 4
A área é dada por
Desenvolvendo o integrando:
Calculamos a integral:
Avaliação de
Portanto, a área é