Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre a medida da área:
4 x+y^2=12 e x=y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas 4x + y^2 = 12 (uma parábola abrindo para a esquerda) e x = y (reta) e depois calcular a área dessa região. O conteúdo é cálculo de área por integração simples, usando interseções e integrando em relação a y.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção impondo x=y em 4x + y^2 = 12. Substituindo dá 4y + y^2 = 12, ou seja,
y^2 + 4y - 12 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau:
y = -4 pm raiz16 + 482 = -4 pm 82 implies y = 2 ou y = -6
Logo, os pontos de interseção são (2,2) e (-6,-6).

Passo 3

Isolamos x em função de y nas duas curvas para ver qual é o limite direito e esquerdo em cada altura y:
• Reta: x = y.
• Parábola: 4x = 12 - y^2 x = 12 - y^24
Para um valor intermediário, por exemplo y=0, a reta dá x=0 e a parábola dá x=3, então a reta é o limite esquerdo e a parábola, o direito.

Passo 4

A área é dada por
A = integraly=-6^2 l(xdir - xesqr),dy = integral-6^2 l(12 - y^24 - yr),dy
Desenvolvendo o integrando:
12 - y^24 - y = 3 - y^24 - y
Calculamos a integral:
integral l(3 - tfracy^24 - yr) dy = 3y - 112y^3 - 12y^2 + C
Avaliação de y=-6 a y=2:
F(2) = 3cdot2 - tfrac112(2)^3 - tfrac12(2)^2 = 6 - tfrac812 - 2 = 4 - tfrac23 = tfrac103,
F(-6) = 3(-6) - tfrac112(-6)^3 - tfrac12(-6)^2 = -18 - l(-18r) - 18 = -18 + 18 - 18 = -18
Portanto, a área é
A = F(2) - F(-6) = tfrac103 - (-18) = tfrac103 + tfrac543 = tfrac643

Resposta

643

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