1. Use uma regra da cadeia para determinar o valor de
partial zpartial r|r=2, theta=pi / 6 e partial zpartial theta|r=2, theta=pi / 6
se z=x y e^x / y ; x=r cos theta, y=r sen theta.

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de uma função definida em coordenadas cartesianas, mas expressa em variáveis polares. O conteúdo é a regra da cadeia em várias variáveis, e vamos precisar de: (1)
• derivadas parciais de z(x,y) em relação a x e y, (2) derivadas de x(r,theta) e y(r,theta), e (3) avaliar tudo em r=2 e theta=pi/6.

Passo 2

Primeiro vamos achar zx e zy para z = xy e^x/y.
A regra do produto e da cadeia diz que:
zx = partialpartial xl(xyr)e^x/y + xy cdot ddxe^x/y = y e^x/y + xy e^x/ycdot1y = (x+y)e^x/y,
zy = x e^x/y + xy e^x/ycdotddyl(tfracxyr) = x e^x/y + xy e^x/ycdotl(-tfracxy^2r) = l(x - tfracx^2yr)e^x/y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas das coordenadas:
x = rcostheta, y = rsintheta
Logo:
xr = costheta, xtheta = -rsintheta, yr=sintheta, ytheta = rcostheta

Passo 4

Em seguida avaliamos as quantidades em r=2,,theta=pi/6:
x = 2costfracpi6 = raiz3, y = 2sintfracpi6 = 1, e^x/y=e^raiz3
E as derivadas auxiliares:
xr=tfracraiz32,;yr=tfrac12,;xtheta = -1,;ytheta=raiz3

Passo 5

Agora montamos partial zpartial r pela regra da cadeia:
$$\frac{\partial z}{\partial r} = z_x,x_r + z_y,y_r.
partial zpartial r = zx,xr + zy,yr z_x=(\sqrt3+1)e^{\sqrt3},\quad z_y=(\sqrt3-3)e^{\sqrt3},$$
zx=(raiz3+1)e^raiz3, zy=(raiz3-3)e^raiz3,

Passo 6

Finalmente calculamos partial zpartial theta também via regra da cadeia:
$$\frac{\partial z}{\partial \theta} = z_x,x_\theta + z_y,y_\theta.
partial zpartial theta = zx,xtheta + zy,ytheta \frac{\partial z}{\partial \theta} = (\sqrt3+1)e^{\sqrt3}(-1) + (\sqrt3-3)e^{\sqrt3}(\sqrt3) = (2 - 4\sqrt3)e^{\sqrt3}.$$

Resposta

partial zpartial r|r=2,,theta=pi/6 = raiz3,e^raiz3, partial zpartial theta|r=2,,theta=pi/6 = (2 - 4raiz3)e^raiz3

Exercícios relacionados