1. Seja u=r s^2 ln t, r=x^2, s=4 y+1, t=x y^3. Determine partial u / partial x e partial u / partial y.

Passo 1

O enunciado dá a função composta u = r s^2 ln t, com as dependências r = x^2, s = 4y + 1 e t = x y^3. O conteúdo é derivadas parciais de funções compostas, e vamos usar a regra da cadeia para calcular partial u/partial x e partial u/partial y.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, escrevemos
partial upartial x = partial upartial r partial rpartial x + partial upartial s partial spartial x + partial upartial t partial tpartial x,
e
partial upartial y = partial upartial r partial rpartial y + partial upartial s partial spartial y + partial upartial t partial tpartial y

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas parciais de u em relação a r,s,t:
partial upartial r = s^2 ln t,
partial upartial s = 2 r s ln t,
partial upartial t = r s^2 cdot 1t

Passo 4

Agora as derivadas de r,s,t em relação a x,y:
partial rpartial x = 2x, partial spartial x = 0, partial tpartial x = y^3,
partial rpartial y = 0, partial spartial y = 4, partial tpartial y = 3x y^2

Passo 5

Substituindo em partial u/partial x:
partial upartial x = s^2ln t cdot 2x + 2rsln t cdot 0 + rs^21t cdot y^3 = 2x s^2ln t + r s^2y^3t
Como t = x y^3, temos y^3/t = 1/x. Logo
partial upartial x = 2x s^2ln t + r s^21x = 2x s^2ln t + x^2s^21x = x s^2(2ln t + 1)

Passo 6

Substituindo em partial u/partial y:
partial upartial y = s^2ln t cdot 0 + 2rsln t cdot 4 + rs^21t cdot 3x y^2 = 8rsln t + 3r s^2x y^2t
De novo, t = x y^3 implica x y^2/t = 1/y. Assim
partial upartial y = 8rsln t + 3r s^21y = 8x^2sln t + 3x^2s^21y

Resposta

Substituindo s = 4y+1 e t = x y^3, temos
partial upartial x = x(4y+1)^2l(2ln(xy^3) + 1r),
partial upartial y = 8x^2(4y+1)ln(xy^3) + 3x^2(4y+1)^2y

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