Caso exista, determine o valor mínimo global de
e o ponto onde ocorre.
Passo 1
O enunciado pede pra achar o valor mínimo global da função
e onde isso ocorre. Isso envolve cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos e análise do comportamento da função no infinito.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais. Temos
Igualando a zero:
$$
2x(1-y)^3 = 0,$$
$$
-3x2(1-y)2 + 2y = 0.$$
Passo 3
Da primeira equação vemos que ou
ou
. Se
, a segunda dá
e portanto
. Se
, a segunda vira
(impossível). Logo o único ponto crítico é
.
Passo 4
No ponto
a função vale
$$
f(0,0)=02,(1-0)3+0^2=0,$$
indicando um mínimo local.
indicando um mínimo local.
Passo 5
Para ver se há mínimo global, note que para qualquer
temos
. Assim, escolhendo
e fazendo
, o termo
tende a
, logo
. Portanto não existe mínimo global.
Resposta
Não existe mínimo global, pois para qualquer
e
temos
.