Caso exista, determine o valor mínimo global de f(x, y)=x^2(1-y)^3+y^2 e o ponto onde ocorre.

Passo 1

O enunciado pede pra achar o valor mínimo global da função f(x,y)=x^2(1-y)^3 + y^2 e onde isso ocorre. Isso envolve cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos e análise do comportamento da função no infinito.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais. Temos
partial fpartial x = 2x(1-y)^3,
partial fpartial y = x^2cdot 3(1-y)^2cdot(-1) + 2y = -3x^2(1-y)^2 + 2y
Igualando a zero:
$$
2x(1-y)^3 = 0,$$
$$
-3x2(1-y)2 + 2y = 0.$$

Passo 3

Da primeira equação vemos que ou x=0 ou y=1. Se x=0, a segunda dá 2y=0 e portanto y=0. Se y=1, a segunda vira 2=0 (impossível). Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

No ponto (0,0) a função vale
$$
f(0,0)=02,(1-0)3+0^2=0,$$
indicando um mínimo local.

Passo 5

Para ver se há mínimo global, note que para qualquer y>1 temos (1-y)^3<0. Assim, escolhendo y>1 e fazendo |x|toinfty, o termo x^2(1-y)^3 tende a -infty, logo f(x,y)to -infty. Portanto não existe mínimo global.

Resposta

Não existe mínimo global, pois para qualquer y>1 e |x|toinfty temos f(x,y)to -infty.

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