Seja f(x, y)=2 raizx y. Gere a curva de nível de altura 8.

Passo 1

O enunciado pede para gerar a curva de nível de altura 8 da função de duas variáveis f(x,y)=2raizxy. Vamos usar conceitos de curvas de nível e álgebra elementar para encontrar todos os pontos (x,y) que satisfazem f(x,y)=8.

Passo 2

Começamos igualando f(x,y) ao valor 8 e isolando a raiz:
Começamos com
2raizxy=8
Dividindo ambos os lados por 2, vem
raizxy=4
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos
xy=16

Passo 3

Precisamos também garantir que a expressão dentro da raiz seja não-negativa. Como xy=16>0, só temos pontos em que x e y têm o mesmo sinal. Se considerarmos o domínio natural x>=0,,y>=0, a curva de nível é o ramo da hipérbole
xy=16,
incluído no primeiro quadrante. Caso aceitemos também valores negativos, teremos outro ramo no terceiro quadrante.

Passo 4

Uma forma de parametrizar essa hipérbole é tomar um parâmetro t>0 e definir
x=16t, y=t
Isso gera todos os pontos do ramo em x>0, y>0. Se quisermos o ramo em x<0, y<0, basta deixar t<0.

Resposta

A curva de nível de altura 8 é a hipérbole dada por xy=16.

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