Determine o volume do sólido
no interior da esfera
e do cilindro
e acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido W que fica ao mesmo tempo dentro da esfera
, dentro do cilindro
e acima do plano
. O conteúdo principal aqui é a integração tripla em coordenadas cilíndricas: vamos usar essa mudança de variáveis para simplificar a região.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos
,
,
, e o elemento de volume é
.
A esfera
vira
, ou seja acima de
temos
. O cilindro
fica
Passo 3
Como precisamos de
e
, exigimos
, isto é
. Assim a integral do volume é
Passo 4
Primeiro integramos em
, tratamos
e
como constantes:
Passo 5
Então
Passo 6
Para
usamos a substituição
,
. Fica
Passo 7
Avaliando de
até
dá
Passo 8
Logo
$$V=\int_{0}^{\pi}\tfrac{8}{3}\bigl(1 - |\cos^3\theta|\bigr)d\theta.
$$
Passo 9
Como
muda de sinal em
, usamos simetria ou dividimos o integral. Calcula-se
$$\int_{0}^{\pi}(1 - |\cos^3\theta|)d\theta = 2\int_{0}{\frac{\pi}{2}}(1-\cos3\theta)d\theta = 2\Bigl(\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{2}{3}\Bigr) = \pi - \tfrac{4}{3}.
$$
Passo 10
Portanto
$$V=\tfrac{8}{3}\bigl(\pi - \tfrac{4}{3}\bigr) = \tfrac{8}{9}(3\pi -4).
$$