Determine o volume do sólido W no interior da esfera x^2+y^2+z^2=4 e do cilindro x^2+(y-1)^2=1 e acima do plano z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W que fica ao mesmo tempo dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4, dentro do cilindro x^2+(y-1)^2=1 e acima do plano z=0. O conteúdo principal aqui é a integração tripla em coordenadas cilíndricas: vamos usar essa mudança de variáveis para simplificar a região.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, e o elemento de volume é dV=r,dz,dr,dtheta.
A esfera x^2+y^2+z^2=4 vira z^2+r^2=4, ou seja acima de z=0 temos 0<= z<=raiz4-r^2. O cilindro x^2+(y-1)^2=1 fica r^2-2rsintheta+1=1implies r^2<= 2rsinthetaimplies r<= 2sintheta

Passo 3

Como precisamos de r>=0 e r<=2sintheta, exigimos sintheta>=0, isto é 0<=theta<=pi. Assim a integral do volume é
V=integraltheta=0^piintegralr=0^2sinthetaintegralz=0^raiz4-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z, tratamos r e theta como constantes:
integralz=0^raiz4-r^2r,dz = rl[zr]0^raiz4-r^2 = rraiz4-r^2

Passo 5

Então
V=integral0^piintegral0^2sinthetarraiz4-r^2,dr,dtheta

Passo 6

Para integral rraiz4-r^2,dr usamos a substituição u=4-r^2, du=-2r,dr. Fica
integral rraiz4-r^2,dr = -tfrac12integral u^1/2,du = -tfrac12cdottfrac23u^3/2 = -tfrac13(4-r^2)^3/2

Passo 7

Avaliando de r=0 até r=2sintheta
l[-tfrac13(4-r^2)^3/2r]0^2sintheta = tfrac13l(4^3/2 - (4cos^2theta)^3/2r) = tfrac83l(1 - |cos^3theta|r)

Passo 8

Logo
$$V=\int_{0}^{\pi}\tfrac{8}{3}\bigl(1 - |\cos^3\theta|\bigr)d\theta.
$$

Passo 9

Como |cos^3theta| muda de sinal em theta=pi2, usamos simetria ou dividimos o integral. Calcula-se
$$\int_{0}^{\pi}(1 - |\cos^3\theta|)d\theta = 2\int_{0}{\frac{\pi}{2}}(1-\cos3\theta)d\theta = 2\Bigl(\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{2}{3}\Bigr) = \pi - \tfrac{4}{3}.
$$

Passo 10

Portanto
$$V=\tfrac{8}{3}\bigl(\pi - \tfrac{4}{3}\bigr) = \tfrac{8}{9}(3\pi -4).
$$

Resposta

V=89(3pi -4).

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