Determine os pontos de máximo e de mínimo da função f(x, y)=x^2+2 y^2-x no conjunto A=(x, y) in Re^2 mid x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo de f(x,y)=x²+2y²–x no disco x²+y²≤4. É um problema de otimização de uma função suave num conjunto fechado e limitado. Vamos usar derivadas parciais para achar o ponto crítico interior e depois examinar o contorno (o círculo de raio 2) parametrizando-o.

Passo 2

Para o interior, calculamos o gradiente de f e igualamos a zero:

Isso dá x=1/2 e y=0. Esse ponto está dentro do disco ( (1/2)²+0≤4 ). Calculamos então

Passo 3

No contorno temos x²+y²=4. Vamos parametrizar o círculo de raio 2 por

Substituindo em f, obtemos

Passo 4

Para achar extremos de f(t), derivamos em t e igualamos a zero:

Isso dá duas possibilidades:
- nf'(t)=8sin tcos t+2sin t=2sin tl(4cos t+1r)=0 sin t=0.
- t=0,pi 4cos t+1=0, ou seja cos t=-tfrac14 e t=arccos(-1/4).

Passo 5

Agora avaliamos f nos pontos críticos do contorno:
  • Para t=0: (x,y)=(2,0), f=4-2=2
    - Para t=pi: (x,y)=(-2,0),
    f=4+2=6
  • Para cos t=-1/4: (x,y)=(-tfrac12,pmtfracraiz152), f=l(-tfrac12r)^2+2l(tfracraiz152r)^2-l(-tfrac12r)=tfrac14+2·tfrac154+tfrac12=tfrac334=8,25
    Comparando todos os valores, o menor é -tfrac14 no interior e o maior é tfrac334 nesses dois pontos do contorno.

Passo 6

Portanto, no disco fechado, o valor mínimo de f é -tfrac14 em (tfrac12,0) e o valor máximo de f é tfrac334 nos pontos ( -tfrac12,pmtfracraiz152 )).

Resposta

Mínimo em (½, 0) com f=–¼; Máximo em (–½, ±√15/2) com f=33/4.

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