Determine os pontos de máximo e de mínimo da função
no conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo de f(x,y)=x²+2y²–x no disco x²+y²≤4. É um problema de otimização de uma função suave num conjunto fechado e limitado. Vamos usar derivadas parciais para achar o ponto crítico interior e depois examinar o contorno (o círculo de raio 2) parametrizando-o.
Passo 2
Para o interior, calculamos o gradiente de f e igualamos a zero:
Isso dá x=1/2 e y=0. Esse ponto está dentro do disco ( (1/2)²+0≤4 ). Calculamos então
Passo 3
No contorno temos x²+y²=4. Vamos parametrizar o círculo de raio 2 por
Substituindo em f, obtemos
Passo 4
Para achar extremos de f(t), derivamos em t e igualamos a zero:
Isso dá duas possibilidades:
-
-
Passo 5
Agora avaliamos f nos pontos críticos do contorno:
- Para
: ,
- Para: ,
- Para
: ,
Comparando todos os valores, o menor éno interior e o maior é nesses dois pontos do contorno.
Passo 6
Portanto, no disco fechado, o valor mínimo de f é
em
e o valor máximo de f é
nos pontos
.
Resposta
Mínimo em (½, 0) com f=–¼; Máximo em (–½, ±√15/2) com f=33/4.