Caso existam, calcule os seguintes limites:
(b) (1,0 ponto) lim (x, y) (0,0) cos (1x^2+y^2) sen(x^3x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limite de funções de várias variáveis e usaremos propriedades de desigualdades e o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Primeiro, note que l|cosl(1x^2+y^2r)r|<=1. Logo, chamando
f(x,y)=cos!l(tfrac1x^2+y^2r),sin!l(tfracx^3x^2+y^2r),
temos
|f(x,y)|<=l|sin!l(tfracx^3x^2+y^2r)r|

Passo 3

Aplicando a desigualdade lvertsin urvert<=lvert urvert, com u=tfracx^3x^2+y^2, segue
|f(x,y)|<=|x^3x^2+y^2|

Passo 4

Como x^2+y^2>= x^2, temos
|x^3x^2+y^2|<=|x^3|x^2 = |x|

Passo 5

Sabemos que lim(x,y)to(0,0)|x|=0. Pelo teorema do confronto, conclui-se que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

O valor do limite é 0.

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