Ouestão 5. Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações):
lim x 2 log 6(3 x^3-24x-2)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto2log6!gl(3x^3-24x-2gr)
Esse é um limite do tipo 0/0, então vamos usar fatoração de polinômio para simplificar a expressão antes de aplicar a continuidade do logaritmo.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador:
3x^3-24 = 3,(x^3-8) = 3,(x-2),(x^2+2x+4)
Logo, para xneq2,
3x^3-24x-2 = 3,(x^2+2x+4)

Passo 3

Como o logaritmo de base 6 é contínuo em (0,infty), temos
limxto2log6!l(3,(x^2+2x+4)r) =log6!l(limxto23,(x^2+2x+4)r)
Calculando o interior em x=2:
3,(2^2+2cdot2+4) = 3,(4+4+4) = 3cdot12 = 36
Portanto o limite vira log6(36).

Resposta

2
pois 36=6^2 e log6(6^2)=2.

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