( 2,0 pt) Caso existam, determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y) = x^3 - y^2 + x * y - 5

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para identificar onde o gradiente da função é zero e, em seguida, determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos calculando as derivadas parciais de em relação a e e igualando-as a zero. As derivadas parciais são:

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Primeiro, da equação (2), isolamos :
Substituindo na equação (1):
Assim, temos duas soluções para :

Passo 5

Agora, encontramos os valores correspondentes de para cada valor de :
Para :
Para :

Passo 6

Portanto, os pontos críticos são:

Passo 7

Para classificar esses pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 8

Classificando o ponto :
Calculamos em :
Como , o ponto é um ponto de sela.

Passo 9

Classificando o ponto :
Calculamos nesse ponto:
Como e , o ponto é um ponto de máximo relativo.

Resposta

Os pontos críticos são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto de máximo relativo.

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