( 2,0 pt) Caso existam, determine e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
Neste exercício, vamos encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para identificar onde o gradiente da função é zero e, em seguida, determinar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualando-as a zero. As derivadas parciais são:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2). Primeiro, da equação (2), isolamos
:
Substituindo
na equação (1):
Assim, temos duas soluções para
:
Passo 5
Agora, encontramos os valores correspondentes de
para cada valor de
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 7
Para classificar esses pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 8
Classificando o ponto
:
Calculamos
em
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Passo 9
Classificando o ponto
:
Calculamos
nesse ponto:
Como
e
, o ponto
é um ponto de máximo relativo.
Resposta
Os pontos críticos são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de máximo relativo.