Obtenha lim x -1 F(x), sabendo que F(x)=h(f(g^-1(x))) com f(x)=e^x, g(x)= e^x-2 e h(x)=1-cos (x-1)x-1

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . A função é uma composição das funções , e a inversa de . Para resolver isso, a gente vai precisar saber como encontrar a função inversa, como compor funções e como calcular limites, especialmente quando a gente lida com expressões que podem dar uma indeterminação tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função inversa de x = e^y - 2 , ou seja, e^y = x + 2 y = ln(x + 2) . Sabemos que . Para achar a inversa, a gente troca por e resolve para :
Agora, isolando :
Então, .

Passo 3

Agora, substituímos f(g^-1(x)) = e^ln(x + 2) na função f(g^-1(x)) = x + 2 . Sabemos que , então:
Como para qualquer , simplificamos para:

Passo 4

Em seguida, substituímos h(x) = 1 - cos(x - 1)x - 1 na função h(x + 2) = 1 - cos((x + 2) - 1)(x + 2) - 1 = 1 - cos(x + 1)x + 1 . A função é dada por:
Então, substituindo por :

Passo 5

Agora, queremos calcular o limite de limx to -1 1 - cos(x + 1)x + 1 quando 1 - cos(0)0 = 00 tende a :
Substituindo :
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos usar uma técnica para resolver, como a Regra de L’Hospital.

Passo 6

Aplicamos a Regra de L’Hospital, que diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) é do tipo f(x) = 1 - cos(x + 1) Rightarrow f'(x) = sin(x + 1) g(x) = x + 1 Rightarrow g'(x) = 1 ou limx to -1 sin(x + 1)1 = sin(0) = 0 , então:
Derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite fica:

Resposta

O limite de quando tende a é .

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