Obtenha
, sabendo que
com
e
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função
é uma composição das funções
,
e a inversa de
. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como encontrar a função inversa, como compor funções e como calcular limites, especialmente quando a gente lida com expressões que podem dar uma indeterminação tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função inversa de
, ou seja,
. Sabemos que
. Para achar a inversa, a gente troca
por
e resolve para
:
Agora, isolando
:
Então,
.
Passo 3
Agora, substituímos
na função
. Sabemos que
, então:
Como
para qualquer
, simplificamos para:
Passo 4
Em seguida, substituímos
na função
. A função
é dada por:
Então, substituindo
por
:
Passo 5
Agora, queremos calcular o limite de
quando
tende a
:
Substituindo
:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos usar uma técnica para resolver, como a Regra de L’Hospital.
Passo 6
Aplicamos a Regra de L’Hospital, que diz que se
é do tipo
ou
, então:
Derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite fica:
Resposta
O limite de
quando
tende a
é
.