(2,0 pt) Considere f(x, y) = x^2 e^y + x e^y. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto (3,0) e indique a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e também a direção em que isso acontece. Isso envolve conceitos de derivadas parciais e gradiente, que é basicamente um vetor que aponta na direção da maior subida da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando alteramos uma variável de cada vez.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :

Passo 4

O gradiente da função no ponto é o vetor formado pelas derivadas parciais nesse ponto:
A taxa de variação máxima é dada pela magnitude desse vetor. Calculamos a magnitude usando a fórmula:

Passo 5

A direção da taxa de variação máxima é a direção do vetor gradiente. Para facilitar, podemos representar essa direção como um vetor unitário dividindo cada componente do gradiente pela sua magnitude:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é aproximadamente e ocorre na direção do vetor .

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