(2,0 pt) Considere
. Determine a taxa de variação máxima de
no ponto
e indique a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a taxa de variação máxima da função
no ponto
e também a direção em que isso acontece. Isso envolve conceitos de derivadas parciais e gradiente, que é basicamente um vetor que aponta na direção da maior subida da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando alteramos uma variável de cada vez.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
O gradiente da função no ponto
é o vetor formado pelas derivadas parciais nesse ponto:
A taxa de variação máxima é dada pela magnitude desse vetor. Calculamos a magnitude usando a fórmula:
Passo 5
A direção da taxa de variação máxima é a direção do vetor gradiente. Para facilitar, podemos representar essa direção como um vetor unitário dividindo cada componente do gradiente pela sua magnitude:
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
é aproximadamente
e ocorre na direção do vetor
.