Considere a função , definida por
Encontre, se possível, o valor das constante a e b para que a função f(x) seja contínua em 0 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de três jeitos diferentes, dependendo do valor de . O objetivo aqui é encontrar os valores das constantes e para que a função seja contínua em 0. Isso significa que não deve ter “saltos” ou “buracos” no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a função quando f(x) = 2(e^b x^2 - 1)5 - 5 cos^2 x se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, quando limx to 0^- 2(e^b x^2 - 1)5 - 5 cos^2 x é um número negativo próximo de zero. A expressão da função nesse caso é:
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando tende a 0:
Passo 3
Vamos simplificar o denominador:
5 - 5 cos^2 x = 5(1 - cos^2 x) = 5 sin^2 x
Então, a expressão fica:
limx to 0^- 2(e^b x^2 - 1)5 sin^2 x = 25 limx to 0^- e^b x^2 - 1sin^2 x
Agora, sabemos que quando e^b x^2 approx 1 + b x^2 + (b x^2)^22 + dots tende a 0, e^b x^2 - 1 approx b x^2 pode ser aproximado pela série de Taylor:
e^b x^2 - 1sin^2 x approx b x^2x^2 = b
Portanto:
25 cdot b
E também sabemos que quando é próximo de 0, então .
Substituindo essas aproximações:
Assim, o limite fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando f(x) = (x + 1)^ln 5x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, limx to 0^+ (x + 1)^ln 5x . A expressão da função é:
f(x) = e^ln 5x cdot ln(x + 1)
Queremos calcular:
ln 5x cdot ln(x + 1) approx ln 5x cdot x = ln 5
Para resolver isso, vamos usar o fato de que limx to 0^+ f(x) = e^ln 5 = 5 tende a quando tende a infinito. Aqui, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
Quando tende a 0, , então:
Portanto:
Passo 5
Para a função ser contínua em 0, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função em 0:
limx to 0^- f(x) = a = limx to 0^+ f(x)
Substituindo os limites que calculamos:
25 b = a = 5
Assim, temos:
25 b = 5 implies b = 5 cdot 52 = 252
E já sabemos que .
Resposta
Os valores das constantes são e para que a função seja contínua em 0.