Caso existam, encontre as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais ao gráfico da função g(x) dada por
g(x)=\frac{2 x^{2}+1}{3 x^{2}-27}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)=\frac{2 x^{2}+1}{3 x^{2}-27}
e pede para encontrar, caso existam, as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma razão de polinômios (função racional).
  • O numerador é \,2x^{2}+1.
  • O denominador é \,3x^{2}-27.
As perguntas que iremos responder:
  • Quais são as assíntotas verticais (valores de x onde o gráfico vai para infinito)?
  • Quais são as assíntotas horizontais (retas y= constante que o gráfico se aproxima quando |x|\to\infty)?

Passo 2

Como identificar assíntotas verticais (conceito e procedimento): uma assíntota vertical em x=a ocorre quando o denominador da função racional se anula em x=a e o numerador não se anula em x=a (ou seja, não é um cancelamento/removível). Em termos práticos:
  1. Resolver \, \text{denominador}=0 para achar candidatos.
  2. Verificar se o numerador também é zero nesses pontos. Se o numerador for zero também, pode haver um buraco (removível) em vez de assíntota; se não for zero, é assíntota vertical (geralmente).
Aplicando ao nosso caso: fatorar o denominador.
3x^{2}-27 = 3(x^{2}-9) = 3(x-3)(x+3).
Logo as raízes do denominador são x=3 e x=-3, que são candidatos a assíntotas verticais.

Passo 3

Verificar o numerador nesses candidatos: calcular \,2x^{2}+1 em x=3 e x=-3.
2\cdot 3^{2}+1 = 2\cdot 9 +1 = 18+1 = 19 \neq 0,
2\cdot(-3)^{2}+1 = 2\cdot 9 +1 = 19 \neq 0.
Como o numerador não se anula em x=3 nem em x=-3, não há cancelamento de fator e esses pontos são realmente assíntotas verticais. Conclusão: x=3 e x=-3 são assíntotas verticais.

Passo 4

Como identificar assíntotas horizontais (conceito e procedimento): para uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} onde P e Q são polinômios, compare os graus \deg P e \deg Q:
  • Se \deg P < \deg Q, a assíntota horizontal é y=0.
  • Se \deg P = \deg Q, a assíntota horizontal é y=\dfrac{\text{coeficiente líder de }P}{\text{coeficiente líder de }Q}íí.
  • Se \deg P > \deg Q, não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
No nosso caso, \deg(2x^{2}+1)=2 e \deg(3x^{2}-27)=2, portanto os graus são iguais e a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (coeficientes líderes).

Passo 5

Calcular explicitamente o limite para mostrar a assíntota horizontal. Dividimos numerador e denominador por x^{2} para avaliar o comportamento quando |x|\to\infty:
\lim_{x\to\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+1}{3x^{2}-27} = \lim_{x\to\infty}\frac{2+\dfrac{1}{x^{2}}}{3-\dfrac{27}{x^{2}}}.
Como \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{27}{x^{2}}\to 0 quando x\to\infty, obtemos
\lim_{x\to\infty} g(x)=\frac{2+0}{3-0}=\frac{2}{3}.
O mesmo raciocínio vale para x\to -\infty (os termos com 1/x^{2} também tendem a 0), então
\lim_{x\to -\infty} g(x)=\frac{2}{3}.
Portanto a reta horizontal y=\dfrac{2}{3} é assíntota horizontal para ambos os lados.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-3 e x=3
Assíntota horizontal: y=\dfrac{2}{3}

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