Caso existam, encontre as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais ao gráfico da função
dada por
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar, caso existam, as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma razão de polinômios (função racional).
- O numerador é
. - O denominador é
.
As perguntas que iremos responder:
- Quais são as assíntotas verticais (valores de
onde o gráfico vai para infinito)? - Quais são as assíntotas horizontais (retas
constante que o gráfico se aproxima quando )?
Passo 2
Como identificar assíntotas verticais (conceito e procedimento): uma assíntota vertical em
ocorre quando o denominador da função racional se anula em
e o numerador não se anula em
(ou seja, não é um cancelamento/removível). Em termos práticos:
- Resolver
para achar candidatos. - Verificar se o numerador também é zero nesses pontos. Se o numerador for zero também, pode haver um buraco (removível) em vez de assíntota; se não for zero, é assíntota vertical (geralmente).
Aplicando ao nosso caso: fatorar o denominador.
Logo as raízes do denominador são
e
, que são candidatos a assíntotas verticais.
Passo 3
Verificar o numerador nesses candidatos: calcular
em
e
.
Como o numerador não se anula em
nem em
, não há cancelamento de fator e esses pontos são realmente assíntotas verticais. Conclusão:
e
são assíntotas verticais.
Passo 4
Como identificar assíntotas horizontais (conceito e procedimento): para uma função racional
onde
e
são polinômios, compare os graus
e
:
- Se
, a assíntota horizontal é . - Se
, a assíntota horizontal é . - Se
, não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
No nosso caso,
e
, portanto os graus são iguais e a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (coeficientes líderes).
Passo 5
Calcular explicitamente o limite para mostrar a assíntota horizontal. Dividimos numerador e denominador por
para avaliar o comportamento quando
:
Como
e
quando
, obtemos
O mesmo raciocínio vale para
(os termos com
também tendem a
), então
Portanto a reta horizontal
é assíntota horizontal para ambos os lados.
Resposta
Assíntotas verticais:
e
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal: