Caso existam, encontre as equações das assintotas das seguintes funções:
a)
;
b)
;
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das assíntotas das funções dadas. Estamos lidando com funções que envolvem raízes e frações, então vamos precisar entender o que são assíntotas e como encontrá-las. Basicamente, assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca, podendo ser verticais, horizontais ou oblíquas.
Passo 2
Vamos começar pela função a):
Primeiro, precisamos identificar se existem assíntotas horizontais ou oblíquas. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito (
) e a menos infinito (
).
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Para
e
,
. Então:
- Para
, , então:
- Para
, , então:
Isso sugere que há uma assíntota oblíqua quando
e uma assíntota horizontal quando
.
Passo 3
Agora, para encontrar as equações das assíntotas, vamos detalhar os cálculos.
Para
:
Dividimos dentro da raiz por
:
Expandindo a raiz usando a série de Taylor:
Então:
A assíntota oblíqua é:
Para
:
Como
é negativo:
Então:
A assíntota horizontal é:
Passo 4
Vamos para a função b):
Primeiro, identificamos possíveis assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas analisando os valores que tornam o denominador zero e o comportamento da função para
e
.
O denominador é
. Vamos considerar dois casos para o valor absoluto.
Caso 1:
(ou seja,
)
Caso 2:
(ou seja,
)
Encontramos as raízes do denominador em cada caso.
Para
:
Discriminante
(sem raízes reais)
Para
:
Discriminante
Raízes:
Então,
Portanto, as assíntotas verticais ocorrem em
e
.
Agora, para assíntotas horizontais ou oblíquas, analisamos o comportamento da função para
e
.
O grau do numerador é 1 e o denominador é 2, portanto, a assíntota horizontal é
, pois o numerador cresce mais devagar que o denominador.
Passo 5
Por fim, vamos para a função c):
Primeiro, garantimos que o denominador não seja zero e que a expressão dentro da raiz seja positiva:
Não há assíntotas verticais, pois o denominador nunca é zero dentro do domínio.
Para assíntotas horizontais ou oblíquas, olhamos para
e
.
Simplificando a expressão quando
tende ao infinito:
Para
:
Para
:
Então, há duas assíntotas horizontais:
Resposta
a) As assíntotas são:
- Assíntota oblíqua:
- Assíntota horizontal:
b) As assíntotas verticais são:
-
-
E a assíntota horizontal é: -
c) As assíntotas horizontais são: