Caso existam, encontre as equações das assintotas das seguintes funções:
a) g(x)=raizx^2+x+1+x
b) f(x)=2 x+4x^2-|x-2|;
c) f(x)=3 x+4raiz2 x^2-5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das assíntotas das funções dadas. Estamos lidando com funções que envolvem raízes e frações, então vamos precisar entender o que são assíntotas e como encontrá-las. Basicamente, assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca, podendo ser verticais, horizontais ou oblíquas.

Passo 2

Vamos começar pela função a):
g(x) = raizx^2 + x + 1 + x
Primeiro, precisamos identificar se existem assíntotas horizontais ou oblíquas. Para isso, analisamos o comportamento da função quando raizx^2 + x + 1 = |x| raiz1 + 1x + 1x^2 tende ao infinito ( g(x) approx |x| + x ) e a menos infinito ( g(x) approx x + x = 2x ).
Simplificando a expressão dentro da raiz:
g(x) approx -x + x = 0
Para e , . Então:
  • Para , , então:
  • Para , , então:
Isso sugere que há uma assíntota oblíqua quando e uma assíntota horizontal quando .

Passo 3

Agora, para encontrar as equações das assíntotas, vamos detalhar os cálculos.
Para g(x) = raizx^2 + x + 1 + x :
g(x) = x raiz1 + 1x + 1x^2 + x
Dividimos dentro da raiz por raiz1 + 1x + 1x^2 approx 1 + 12x - 18x^2 :
g(x) approx x (1 + 12x) + x = x + 12 + x = 2x + 12
Expandindo a raiz usando a série de Taylor:
y = 2x + 12
Então:
g(x) = raizx^2 + x + 1 + x
A assíntota oblíqua é:
raizx^2 + x + 1 = -x raiz1 + 1x + 1x^2 approx -x (1 + 12x) = -x - 12
Para g(x) approx -x - 12 + x = -12 :
y = -12
Como é negativo:
Então:
A assíntota horizontal é:

Passo 4

Vamos para a função b):
f(x) = 2x + 4x^2 - |x - 2|
Primeiro, identificamos possíveis assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas analisando os valores que tornam o denominador zero e o comportamento da função para x^2 - (x - 2) = x^2 - x + 2 e x^2 - (-(x - 2)) = x^2 + x - 2 .
O denominador é x^2 - x + 2 = 0 . Vamos considerar dois casos para o valor absoluto.
Caso 1: x^2 + x - 2 = 0 (ou seja, x = -1 pm raiz92 = -1 pm 32 )
x = 1 ou x = -2
Caso 2: (ou seja, )
Encontramos as raízes do denominador em cada caso.
Para :
Discriminante (sem raízes reais)
Para :
Discriminante
Raízes:
Então,
Portanto, as assíntotas verticais ocorrem em e .
Agora, para assíntotas horizontais ou oblíquas, analisamos o comportamento da função para e .
O grau do numerador é 1 e o denominador é 2, portanto, a assíntota horizontal é , pois o numerador cresce mais devagar que o denominador.

Passo 5

Por fim, vamos para a função c):
f(x) = 3x + 4raiz2x^2 - 5
Primeiro, garantimos que o denominador não seja zero e que a expressão dentro da raiz seja positiva:
2x^2 - 5 > 0 implies x^2 > 52 implies x > raiz52 ou x < -raiz52
Não há assíntotas verticais, pois o denominador nunca é zero dentro do domínio.
Para assíntotas horizontais ou oblíquas, olhamos para 3x + 4raiz2x^2 - 5 approx 3xraiz2 |x| e 3xraiz2x = 3raiz2 .
Simplificando a expressão quando 3xraiz2(-x) = -3raiz2 tende ao infinito:
y = 3raiz2 e y = -3raiz2
Para :
Para :
Então, há duas assíntotas horizontais:

Resposta

a) As assíntotas são:
  • Assíntota oblíqua:
  • Assíntota horizontal:
b) As assíntotas verticais são:

  • E a assíntota horizontal é:
c) As assíntotas horizontais são:

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