Encontre os pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de .
a)
b) f(x)=ccx+1 & se x <= 1 1 / x & se 1= 3.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos de descontinuidade de duas funções definidas por partes, identificarmos onde são contínuas à direita, à esquerda ou em nenhum desses pontos, e por fim esboçarmos seus gráficos. O conteúdo é continuidade de função e limites laterais, então vamos usar a definição de limite à direita e à esquerda e a igualdade com o valor da função.
Passo 2
Para o item (a), a função é definida por:
f(x)= 1+x^2, & x<=0, 2-x, & 02
Os pontos críticos onde a definição muda são x=0 e x=2.
Passo 3
Analisando x=0 em (a):
limxto0^-f(x)=1+0^2=1,
limxto0^+f(x)=2-0=2,
e o valor f(0)=1+0^{2}=1. Como
limxto0^-f(x)=f(0)neqlimxto0^+f(x),
há descontinuidade tipo salto em x=0. A função é contínua pela esquerda (limite pela esquerda igual a f(0)) e descontinua pela direita.
Passo 4
Analisando x=2 em (a):
limxto2^-f(x)=2-2=0,
limxto2^+f(x)=(2-2)^2=0,
e o valor f(2)=2-2=0. Como ambos os limites laterais coincidem com f(2), f é contínua em x=2.
Passo 5
Concluindo o item (a): existe descontinuidade apenas em x=0, contínua à esquerda e não à direita aí; em x=2 é contínua. O gráfico é: uma parábola 1+x^{2} até x=0, um segmento de reta decrescente 2-x de 0 até 2, e outra parábola (x-2)^{2} para x>2.
Passo 6
Para o item (b), a função é:
f(x)= x+1, & x<=1, 1/x, & 1=3
Os pontos onde muda a definição são x=1 e x=3. Vamos estudar os limites nesses pontos.
Passo 7
Em x=1 em (b):
limxto1^-f(x)=1+1=2,
limxto1^+f(x)=1/1=1,
e f(1)=1+1=2. Como os limites laterais não coincidem, f tem salto em x=1. É contínua pela esquerda (limite esquerdo igual a f(1)) e descontínua pela direita.
Passo 8
Em x=3 em (b):
limxto3^-f(x)=1/3,
limxto3^+f(x)=raiz3-3=0,
e f(3)=0. Como limxto3^-f(x)neq f(3), há salto em x=3. A função é descontínua pela esquerda e contínua pela direita.
Passo 9
Concluindo o item (b): descontinuidades em x=1 (contínua à esquerda) e em x=3 (contínua à direita). O gráfico é: reta x+1 até x=1, depois ramo da hipérbole 1/x de 1 a 3, e em x\ge3 o arco da raiz \sqrt{x-3}.
Passo 10
Segue o esboço geral dos gráficos para cada trecho:
Resposta
a) f é descontínua somente em x=0 (contínua à esquerda, descontínua à direita). É contínua em x=2. b) f é descontínua em x=1 (contínua à esquerda, descontínua à direita) e em x=3 (descontínua à esquerda, contínua à direita).