Encontre o limite infinito nos seguintes casos:
a) lim x 1 3 x+2(x-1)^2 e lim x 2 1-x(x-2)^2;
b) lim x 1^- 2 x+1x-1 e lim x 1^+ 2 x+1x-1;
c) lim x 5^- e^x(x-5)^3;
d) lim x 3^+ ln (x^2-9);
e) lim x pi^- cot x;
f) lim x 2^- x^2-2 xx^2-4 x+4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limites que podem ser infinitos. O conteúdo principal aqui é o estudo de limites no infinito ou limites que resultam em ±∞, usando análise do comportamento da função perto do ponto crítico e checando o sinal de numerador e denominador.

Passo 2

Para a parte (a):
– Em limxto13x+2(x-1)^2 o numerador tende a 3cdot1+2=5 (finito e positivo) e o denominador tende a zero positivo (pois (x-1)^2>0 sempre). Logo o quociente cresce sem limite: +infty.
– Em limxto21-x(x-2)^2 o numerador tende a 1-2=-1 (finito e negativo) e o denominador tende a zero positivo. Assim o quociente vai a -infty.

Passo 3

Para a parte (b):
– Em limxto1^-2x+1x-1 o numerador tende a 2cdot1+1=3 (positivo) e x-1 tende a zero negativo (porque x<1), então o quociente vai a -infty.
– Em limxto1^+2x+1x-1 o numerador tende a 3 e x-1 a zero positivo (pois x>1), dando quociente +infty.

Passo 4

Para a parte ©:
– Em limxto5^-e^x(x-5)^3 o numerador tende a e^5 (positivo) e x-5 tende a zero negativo; o cubo de um número negativo é negativo, logo o denominador é um negativo muito pequeno. Resultado: -infty.

Passo 5

Para a parte (d):
– Em limxto3^+ln(x^2-9) note que x^2-9=(x-3)(x+3). Para x>3, x-3 é um positivo pequeno e x+3approx6>0, então o argumento de ln tende a zero positivo. E ln de algo que vai a zero^+ é -infty.

Passo 6

Para a parte (e):
– Em limxtopi^-cot x = cos xsin x temos cos xto-1 e sin xto0^+ (já que estamos vindo de valores menores que pi). Assim o quociente tende a -infty.

Passo 7

Para a parte (f):
– Em limxto2^-x^2-2xx^2-4x+4 fatoramos:
x^2-2x=x(x-2) e x^2-4x+4=(x-2)^2. Então
x^2-2xx^2-4x+4=x(x-2)(x-2)^2=xx-2
Para xto2^-, o numerador tende a 2 e x-2 a zero negativo, resultando em -infty.

Resposta

a) +∞ e -∞; b) -∞ e +∞; c) -∞; d) -∞; e) -∞; f) -∞

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