1. Se f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{\ln x}, determine f^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{\ln x}\, e pede para determinar f'(1). Informações importantes que temos desde o enunciado:
  • A função envolve \ln x, então o domínio natural é x>0.
  • O que se pede é a derivada de f no ponto x=1: isto é, o número f'(1).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): aqui a função tem a forma \,a(x)^{b(x)} (base e expoente dependentes de x). O jeito mais prático é usar diferenciação logarítmica: tomar o logaritmo natural de f para transformar a potência em produto, depois derivar. Isso evita ter que aplicar fórmulas complicadas diretamente sobre potências com expoente variável.
Breve revisão das regras que vamos usar:
  • Propriedade do logaritmo: \ln\bigl(a^{b}\bigr)=b\ln a quando a>0.
  • Regra da cadeia: se y=f(x) então \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln f(x)\bigr)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x} (para x>0).
  • Derivada de \ln\bigl(g(x)\bigr) é \dfrac{g'(x)}{g(x)} (regra da cadeia).

Passo 3

Aplicando \ln em ambos os lados (propriedade do logaritmo):
\ln f(x)=\ln\!\bigl((x^{2}+1)^{\ln x}\bigr)=(\ln x)\cdot\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Pelo que vimos, o lado esquerdo dá \dfrac{f'(x)}{f(x)}. O lado direito é um produto (\ln x)\cdot\ln(x^{2}+1), então aplicamos a regra do produto:
  • Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.
  • Derivada de \ln(x^{2}+1) é \dfrac{2x}{x^{2}+1} (regra da cadeia, porque \dfrac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x).
Portanto, ao derivar temos:
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x}+\ln x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Isolando f'(x) multiplicando ambos os lados por f(x):
f'(x)=f(x)\left(\frac{\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x}+\ln x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\right).

Passo 6

Agora avaliamos em x=1. Primeiro calcule f(1):
f(1)=\bigl(1^{2}+1\bigr)^{\ln 1}=2^{0}=1,
pois \ln 1=0.

Passo 7

Avaliar a expressão entre parênteses em x=1:
\frac{\ln\bigl(1^{2}+1\bigr)}{1}+\ln 1\cdot\frac{2\cdot 1}{1^{2}+1} =\ln 2 + 0 \cdot\frac{2}{2}=\ln 2.
Como f(1)=1, temos f'(1)=1\cdot\ln 2.

Resposta

\ln 2

Exercícios relacionados