- Se
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
. Informações importantes que temos desde o enunciado:
- A função envolve
, então o domínio natural é . - O que se pede é a derivada de
no ponto : isto é, o número .
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): aqui a função tem a forma
(base e expoente dependentes de
). O jeito mais prático é usar diferenciação logarítmica: tomar o logaritmo natural de
para transformar a potência em produto, depois derivar. Isso evita ter que aplicar fórmulas complicadas diretamente sobre potências com expoente variável.
Breve revisão das regras que vamos usar:
- Propriedade do logaritmo:
quando . - Regra da cadeia: se
então . - Regra do produto:
. - Derivada de
é (para ). - Derivada de
é (regra da cadeia).
Passo 3
Aplicando
em ambos os lados (propriedade do logaritmo):
Passo 4
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. Pelo que vimos, o lado esquerdo dá
. O lado direito é um produto
, então aplicamos a regra do produto:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (regra da cadeia, porque ).
Portanto, ao derivar temos:
Passo 5
Isolando
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora avaliamos em
. Primeiro calcule
:
pois
.
Passo 7
Avaliar a expressão entre parênteses em
:
Como
, temos
.