No caso dos pares de expressões para tensão e corrente dados a seguir, indique se o dispositivo envolvido é um capacitor, indutor ou resistor e os valores de C, L e R caso os dados sejam suficientes:
v(t)=550 \cdot \operatorname{sen}\left(377 \cdot t+60^{\circ}\right) e i(t)=10 \cdot \operatorname{sen}\left(377 \cdot t-30^{\circ}\right);

Passo 1

O enunciado dá duas funções senoidais no regime permanente e pede para identificar o dispositivo (capacitor, indutor ou resistor) e, se possível, calcular o valor do parâmetro ( C, L ou R). As informações fornecidas são:
v(t)=550\cdot\operatorname{sen}\!\left(377\cdot t+60^\circ\right)
i(t)=10\cdot\operatorname{sen}\!\left(377\cdot t-30^\circ\right)
Portanto, precisamos:
  1. dizer qual é o tipo de elemento (resistor, indutor ou capacitor), e
  2. calcular o valor numérico do parâmetro (se os dados forem suficientes).

Passo 2

Vamos lembrar um conceito prático e importante (explicadinho passo a passo): quando temos sinais senoidais de mesma frequência, é muito útil representá‑los por fasores. Um fasor associa à forma temporal a sua amplitude e fase (ignorando a dependência em t por enquanto). Se tivermos
x(t)=X_m\cdot\operatorname{sen}(\omega t+\varphi),
o fasor correspondente (usando amplitude de pico) é
\tilde{X}=X_m\angle\varphi.
Observação útil: podemos trabalhar com amplitudes de pico ou com valores RMS; a razão Z=\tilde{V}/\tilde{I} (impedância) é a mesma em ângulo e magnitude relativos — só muda um fator constante se trocarmos pico por RMS nos dois sinais ao mesmo tempo.
Também precisamos da relação fase-estrutura:
  • Para um resistor ideal, tensão e corrente estão em fase (diferença de fase 0^\circ).
  • Para um indutor ideal, a tensão adianta (leva) a corrente de +90^\circ (ou seja, v está 90^\circ à frente de i).
  • Para um capacitor ideal, a tensão atrasa (é menor que) a corrente em 90^\circ (ou seja, v está -90^\circ em relação a i).
Essa regra de sinais é essencial para identificar o elemento apenas olhando as fases.

Passo 3

Agora converto os sinais dados em fasores (usando amplitude de pico como explicado):
\tilde{V}=550\angle 60^\circ
\tilde{I}=10\angle (-30^\circ)
Aqui escrevi explicitamente as amplitudes e as fases extraídas das expressões de v(t) e i(t).

Passo 4

Calculo a diferença de fase entre tensão e corrente:
\Delta\varphi=\varphi_V-\varphi_I=60^\circ-(-30^\circ)=90^\circ.
Isto significa que a tensão está 90^\circ à frente (lead) da corrente. Pelo lembrete do Passo 2, isso é a característica de um indutor ideal (v leva i de 90^\circ). Portanto o dispositivo é um indutor.

Passo 5

Agora calculo a impedância complexa do elemento usando
Z=\frac{\tilde{V}}{\tilde{I}}.
Substituindo os fasores do Passo 3:
Z=\frac{550\angle 60^\circ}{10\angle (-30^\circ)}=\frac{550}{10}\angle(60^\circ-(-30^\circ))=55\angle 90^\circ.
Em forma complexa isso equivale a
Z=55\angle 90^\circ = \mathrm{j}\,55.

Passo 6

Para um indutor ideal a impedância é dada por
Z_L=\mathrm{j}\,\omega L,
onde \omega é a pulsação (em rad/s) e L é a indutância (em henry). Do enunciado temos \omega=377\\ \mathrm{rad/s} (pois aparece multiplicando t nas senóides). Igualando com o Z encontrado:
\mathrm{j}\,\omega L=\mathrm{j}\,55 \quad\Rightarrow\quad \omega L=55.

Passo 7

Isolando L:
L=\frac{55}{\omega}=\frac{55}{377}\\ \mathrm{H}.
Faço a divisão:
L\approx 0{,}1459\\ \mathrm{H}.
Arredondando de forma prática:
L\approx 0{,}146\\ \mathrm{H}=146\\ \mathrm{mH}.

Passo 8

Verificação breve (tranquilizadora): se tivesse sido resistor, esperaríamos diferença de fase 0^\circ (não é o caso). Se fosse capacitor, esperaríamos \Delta\varphi=-90^\circ (também não é o caso). Logo a conclusão do Passo 4 e o cálculo do Passo 7 estão coerentes.

Resposta

Indutor
L=0{,}146\\ \mathrm{H} (aprox.; 146\\ \mathrm{mH})

Exercícios relacionados