• (um caso particular do Teorema de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas)
Mostre que existem infinitos primos da forma 4 n+3, com n \in \mathbb{Z}.
Para isso,
(a) Mostre que todo primo ímpar é da forma 4 n+1 ou 4 n+3;
(b) Investigue o que ocorre quando se multiplica
(i) números da forma 4 n+1,
(ii) números da forma 4 n+3.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá:
  • Pedido principal: Mostrar que existem infinitos primos da forma \,4n+3, com n\in\mathbb{Z}.
  • Subitens a resolver:
    (a) Mostrar que todo primo ímpar é da forma \,4n+1 ou \,4n+3.
    (b) Investigar o que ocorre quando se multiplicam:
    (i) números da forma \,4n+1,
    (ii) números da forma \,4n+3.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • Trabalhamos com classes modulares módulo 4 (resíduos 0,1,2,3 mod 4).
  • Vamos usar propriedades elementares de multiplicação e congruências módulo 4.
  • Não há outros dados numéricos; tudo é demonstração por argumento geral.

Passo 2

(a) Mostrar que todo primo ímpar é da forma \,4n+1 ou \,4n+3.
Explicação passo a passo e a ideia por trás: qualquer inteiro tem um resto em divisão por 4; esse resto é 0,1,2 ou 3. Um primo ímpar não pode ser divisível por 4 (resto 0) e não pode ser par (resto 2 corresponderia a um número par). Logo os únicos restos possíveis para um primo ímpar são 1 ou 3. Em linguagem matemática:
  • Para todo inteiro m existe n tal que m=4n+r com r\in\{0,1,2,3\}.
  • Se p é primo ímpar, p não pode ter r=0 (então seria múltiplo de 4) nem r=2 (seria par). Logo obrigatoriamente r=1 ou r=3.
  • Portanto todo primo ímpar é da forma \,4n+1 ou \,4n+3.
Exemplo rápido para fixar a ideia: 5 é 4\cdot1+1, 7 é 4\cdot1+3, 11 é 4\cdot2+3.

Passo 3

(b)(i) Multiplicação de números da forma \,4n+1.
Mostrando por conta literal e depois por ideia modular:
  • Álgebra direta: sejam a,b inteiros. Considere (4a+1)(4b+1).
    (4a+1)(4b+1)=16ab+4a+4b+1=4(4ab+a+b)+1.
    Então (4a+1)(4b+1) é da forma \,4k+1 com k=4ab+a+b.
  • Interpretação modular simples: 4a+1\equiv 1\pmod{4} e 4b+1\equiv 1\pmod{4}. O produto é congruente a 1\cdot1\equiv 1\pmod{4}, logo é da forma \,4k+1.
  • Consequência: o produto de qualquer número de fatores, todos da forma \,4n+1, continua sendo da forma \,4n+1 (fechamento da classe 1 módulo 4 sob multiplicação).
Exemplo: (5)(9)=45=4\cdot11+1.

Passo 4

(b)(ii) Multiplicação de números da forma \,4n+3.
Mostrando por álgebra e pelo ponto de vista modular e extraindo a regra geral:
  • Álgebra direta para dois fatores: sejam a,b inteiros. Considere (4a+3)(4b+3).
    (4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=4(4ab+3a+3b+2)+1.
    Assim o produto de dois números da forma \,4n+3 é da forma \,4k+1.
  • Interpretação modular mais prática: note que 4n+3\equiv -1\pmod{4}. Se temos t fatores todos congruentes a -1 modulo 4, o produto é congruente a (-1)^t\pmod{4}. Logo:
    • Se t é par, (-1)^t\equiv 1\pmod{4}, ou seja, produto é da forma \,4k+1.
    • Se t é ímpar, (-1)^t\equiv -1\equiv 3\pmod{4}, ou seja, produto é da forma \,4k+3.
  • Resumo útil: a classe 3\pmod{4} se comporta como -1 multiplicativamente; multiplicar um número par de fatores 3 1 modulo 4, multiplicar um número ímpar de fatores 3 3 modulo 4.
Exemplo: (7)(11)=77=4\cdot19+1 (dois fatores 4n+3 deram 4n+1); e (3)(7)=21=4\cdot5+1 (aqui também dois fatores); mas (3)(7)(11)=231=4\cdot57+3 (três fatores, deu 4n+3).

Passo 5

Prova de que existem infinitos primos da forma \,4n+3 (argumento clássico estilo Euclides, usando o que mostramos em (b)).
  1. Suponha, para fins de contradição, que há apenas finitamente muitos primos da forma \,4n+3. Liste-os: p_1,p_2,\dots,p_r, todos distintos e todos congruentes a 3 módulo 4.
  2. Considere o número
    N=4\prod_{i=1}^r p_i -1.
    Observações sobre N:
    • Para cada i temos N\equiv -1\pmod{p_i}, portanto nenhum dos p_i divide N. Ou seja, N não é divisível por nenhum primo da lista.
    • Também N\equiv 4\cdot(\text{alguma coisa})-1\equiv -1\equiv 3\pmod{4}. Logo N é ímpar e congruente a 3 módulo 4.
  3. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, N tem pelo menos um divisor primo q. Esse primo q não pode ser nenhum dos p_i (porque N não é divisível por eles), logo é um primo novo.
  4. Mostramos em (b) que um produto de números todos congruentes a 1\pmod{4} é congruente a 1\pmod{4}, e que um produto de um número par de fatores 3\pmod{4} também é 1\pmod{4}. Agora, escrevendo a fatoração de N como produto de primos, cada primo da fatoração é congruente a 1 ou 3 módulo 4 (pelo item (a)). Se TODOS os primos na fatoração de N fossem congruentes a 1\pmod{4}, o produto (que é N) seria congruente a 1\pmod{4}, contradizendo N\equiv 3\pmod{4}. Portanto, na fatoração de N deve existir pelo menos um primo congruente a 3\pmod{4}.
  5. Conclusão: existe um primo q divisor de N tal que q\equiv 3\pmod{4}. Como q não está na lista p_1,\dots,p_r, encontramos um primo da forma \,4n+3 fora da lista inicial — contradizendo a hipótese de finitude.
  6. Assim a suposição de que havia apenas finitos primos da forma \,4n+3 é falsa. Logo existem infinitos primos congruentes a 3 módulo 4.
Pequena motivação final e encorajamento: a ideia chave foi construir um número que seja \,3 módulo 4 e que não seja divisível por nenhum primo 3 módulo 4 previamente listado; a fatoração desse número força a existência de um novo primo da classe 3\pmod{4}. É um argumento elegante e direto — dá para usar essa estratégia em vários problemas similares.

Resposta

(a) Todo primo ímpar é da forma \,4n+1 ou \,4n+3.\n(b)(i) O produto de números da forma \,4n+1 é da forma \,4n+1.\n(b)(ii) O produto de dois números da forma \,4n+3 é da forma \,4n+1; mais geralmente, o produto de t números da forma \,4n+3 é \,4n+3 se t é ímpar e \,4n+1 se t é par.\nExistem infinitos primos da forma \,4n+3.

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