- (um caso particular do Teorema de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas)
Mostre que existem infinitos primos da forma
, com
.
Para isso,
(a) Mostre que todo primo ímpar é da forma
ou
;
(b) Investigue o que ocorre quando se multiplica
(i) números da forma
,
(ii) números da forma
.
Para isso,
(a) Mostre que todo primo ímpar é da forma
(b) Investigue o que ocorre quando se multiplica
(i) números da forma
(ii) números da forma
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá:
- Pedido principal: Mostrar que existem infinitos primos da forma
, com . - Subitens a resolver:
(a) Mostrar que todo primo ímpar é da formaou .
(b) Investigar o que ocorre quando se multiplicam:
(i) números da forma,
(ii) números da forma.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
- Trabalhamos com classes modulares módulo
(resíduos mod ). - Vamos usar propriedades elementares de multiplicação e congruências módulo
. - Não há outros dados numéricos; tudo é demonstração por argumento geral.
Passo 2
(a) Mostrar que todo primo ímpar é da forma
ou
.
Explicação passo a passo e a ideia por trás: qualquer inteiro tem um resto em divisão por
; esse resto é
ou
. Um primo ímpar não pode ser divisível por
(resto
) e não pode ser par (resto
corresponderia a um número par). Logo os únicos restos possíveis para um primo ímpar são
ou
. Em linguagem matemática:
- Para todo inteiro
existe tal que com . - Se
é primo ímpar, não pode ter (então seria múltiplo de ) nem (seria par). Logo obrigatoriamente ou . - Portanto todo primo ímpar é da forma
ou .
Exemplo rápido para fixar a ideia:
é
,
é
,
é
.
Passo 3
(b)(i) Multiplicação de números da forma
.
Mostrando por conta literal e depois por ideia modular:
-
Álgebra direta: sejam
inteiros. Considere . Entãoé da forma com . -
Interpretação modular simples:
e . O produto é congruente a , logo é da forma . -
Consequência: o produto de qualquer número de fatores, todos da forma
, continua sendo da forma (fechamento da classe módulo sob multiplicação).
Exemplo:
.
Passo 4
(b)(ii) Multiplicação de números da forma
.
Mostrando por álgebra e pelo ponto de vista modular e extraindo a regra geral:
-
Álgebra direta para dois fatores: sejam
inteiros. Considere . Assim o produto de dois números da formaé da forma . -
Interpretação modular mais prática: note que
. Se temos fatores todos congruentes a modulo , o produto é congruente a . Logo: - Se
é par, , ou seja, produto é da forma . - Se
é ímpar, , ou seja, produto é da forma .
- Se
-
Resumo útil: a classe
se comporta como multiplicativamente; multiplicar um número par de fatores dá modulo , multiplicar um número ímpar de fatores dá modulo .
Exemplo:
(dois fatores
deram
); e
(aqui também dois fatores); mas
(três fatores, deu
).
Passo 5
Prova de que existem infinitos primos da forma
(argumento clássico estilo Euclides, usando o que mostramos em (b)).
-
Suponha, para fins de contradição, que há apenas finitamente muitos primos da forma
. Liste-os: , todos distintos e todos congruentes a módulo . -
Considere o númeroObservações sobre
: - Para cada
temos , portanto nenhum dos divide . Ou seja, não é divisível por nenhum primo da lista. - Também
. Logo é ímpar e congruente a módulo .
- Para cada
-
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética,
tem pelo menos um divisor primo . Esse primo não pode ser nenhum dos (porque não é divisível por eles), logo é um primo novo. -
Mostramos em (b) que um produto de números todos congruentes a
é congruente a , e que um produto de um número par de fatores também é . Agora, escrevendo a fatoração de como produto de primos, cada primo da fatoração é congruente a ou módulo (pelo item (a)). Se TODOS os primos na fatoração de fossem congruentes a , o produto (que é ) seria congruente a , contradizendo . Portanto, na fatoração de deve existir pelo menos um primo congruente a . -
Conclusão: existe um primo
divisor de tal que . Como não está na lista , encontramos um primo da forma fora da lista inicial — contradizendo a hipótese de finitude. -
Assim a suposição de que havia apenas finitos primos da forma
é falsa. Logo existem infinitos primos congruentes a módulo .
Pequena motivação final e encorajamento: a ideia chave foi construir um número que seja
módulo
e que não seja divisível por nenhum primo
módulo
previamente listado; a fatoração desse número força a existência de um novo primo da classe
. É um argumento elegante e direto — dá para usar essa estratégia em vários problemas similares.
Resposta
(a) Todo primo ímpar é da forma
ou
.\n(b)(i) O produto de números da forma
é da forma
.\n(b)(ii) O produto de dois números da forma
é da forma
; mais geralmente, o produto de
números da forma
é
se
é ímpar e
se
é par.\nExistem infinitos primos da forma
.