Considere a seguinte sequência de inteiros positivos:
n_{1}=2, n_{2}=n_{1}+1, n_{3}=n_{1} n_{2}+1, \ldots, n_{k}=n_{1} n_{2} \ldots n_{k-1}+1.
(a) Prove que, se i<k, então m d c\left(n_{i}, n_{k}\right)=1.
(b) Conclua que existem infinitos primos.

Passo 1

O enunciado define a sequência de inteiros positivos pelos termos
n_{1}=2,\qquad n_{2}=n_{1}+1,\qquad n_{3}=n_{1}n_{2}+1,\qquad\ldots,\qquad n_{k}=n_{1}n_{2}\cdots n_{k-1}+1.
As perguntas são:
(a) Provar que, se i<k, então \mathrm{mdc}\bigl(n_{i},n_{k}\bigr)=1.\n
(b) Concluir que existem infinitos primos.
As informações relevantes fornecidas são exatamente a definição recursiva acima dos termos n_{k} (cada termo é o produto de todos os anteriores mais 1) e que todos os n_k são inteiros positivos.

Passo 2

Vamos organizar conceitos básicos que vamos usar (explico como se estivéssemos numa prova, passo a passo):
  • Dizemos que um inteiro a divide outro inteiro b e escrevemos a\mid b se existe inteiro q tal que b=aq. Por exemplo, 3\mid 12 porque 12=3\cdot4.
  • O máximo divisor comum de dois inteiros a e b é o maior inteiro positivo que divide ambos. Em notação do enunciado escrevemos \mathrm{mdc}(a,b). Se \mathrm{mdc}(a,b)=1 dizemos que a e b são primos entre si (ou coprimos).
  • Uma propriedade útil (muito usada) é: se um inteiro d divide dois inteiros x e y, então d também divide qualquer combinação linear inteira deles, por exemplo d\mid(x-y). Isto é porque, se x=d\alpha e y=d\beta, então x-y=d(\alpha-\beta).
  • Todo inteiro m>1 tem pelo menos um divisor primo (ou seja, um primo que divide m). Isso decorre do princípio da fatoração ou do argumento de descida: se m não é primo, escrevemos m=ab com 1<a,b<m e repetimos o argumento até achar um fator primo.
Vou usar essas ideias explicitamente a seguir.

Passo 3

Prova de (a). Fixe i<k. Defina
P:=\prod_{j=1}^{k-1} n_j = n_{1}n_{2}\cdots n_{k-1}.
Pela definição do enunciado temos
n_k = P + 1.
Agora seja d=\mathrm{mdc}(n_i,n_k). Pelo fato de n_i ser um dos fatores do produto P, se d divide n_i então d também divide P. Logo temos:
d\mid P \quad\text{e}\quad d\mid n_k.
Como n_k=P+1, qualquer inteiro que divide P e n_k divide a diferença n_k-P. Aplicando a propriedade da combinação linear mencionada,
d\mid(n_k-P) = (P+1)-P = 1.
Se um inteiro divide 1, ele só pode ser 1 ou -1; como estamos falando de divisores positivos, segue que d=1. Portanto
\mathrm{mdc}\bigl(n_i,n_k\bigr)=1.
Esse argumento vale para qualquer escolha de i<k, o que termina a prova de (a).

Passo 4

Vou ilustrar com um exemplo numérico curto (só para tornar a ideia mais concreta): n_1=2, n_2=3 (pois 2+1), n_3=2\cdot3+1=7. Repare que \mathrm{mdc}(2,7)=1 e \mathrm{mdc}(3,7)=1, exatamente como a prova geral afirma. O mecanismo é sempre o mesmo: n_k é sempre um número que deixa resto 1 quando dividido por qualquer n_i com i<k.

Passo 5

Prova de (b). Queremos concluir que existem infinitos primos usando a propriedade dada em (a). A ideia é construir uma sequência infinita de primos distintos extraindo para cada k um primo que divida n_k.
Primeiro, observe que para todo k temos n_k\ge 2. Logo cada n_k é um inteiro maior que 1, portanto possui pelo menos um divisor primo. Para cada k escolha um primo p_k tal que p_k\mid n_k (essa escolha é possível por causa do comentário anterior).
Agora use (a): se existissem i<k tais que p_k=p_i, então esse primo dividiria simultaneamente n_i e n_k, o que contradiz o resultado de (a) que afirma que \mathrm{mdc}(n_i,n_k)=1. Portanto, para valores diferentes de k os primos p_k escolhidos são distintos. Assim construímos uma sequência infinita p_1,p_2,p_3,\dots de primos todos diferentes.
Logo, existem infinitos primos.

Passo 6

Resumo do raciocínio final (em linguagem de prova curta): cada n_k>1 tem um primo divisor p_k. Pelo item (a) p_k não divide nenhum n_i com i<k, então p_k é novo (diferente de todos os anteriores). Assim obtemos infinitos primos distintos, um para cada k.

Resposta

(a) \mathrm{mdc}\bigl(n_{i},n_{k}\bigr)=1 para i<k.\n
(b) Existem infinitos primos.

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