Considere o
-ésimo número de Fermat
.
(a) Mostre por indução que
(b) Usando o item anterior, mostre o “Teorema de Golbach”: quaisquer dois números de Fermat são coprimos.
(sugestão: observe que se
então o item (a) diz que
. Agora suponha que
divide
e
)
(a) Mostre por indução que
(b) Usando o item anterior, mostre o “Teorema de Golbach”: quaisquer dois números de Fermat são coprimos.
(sugestão: observe que se
Passo 1
Resumo do que o enunciado pede e as informações dadas.
O enunciado define o
-ésimo número de Fermat por
As perguntas são duas:
- Mostrar por indução que
- Usando o item anterior, provar o “Teorema de Golbach”: quaisquer dois números de Fermat são coprimos (ou seja, se
então ).
Informações relevantes dadas e que vamos usar:
- A definição explícita
. - Para a parte (a) é exigido uso de indução matemática.
- Para a parte (b) podemos usar a identidade da parte (a) e propriedades elementares de divisibilidade e do máximo divisor comum (gcd).
Passo 2
Entendendo a técnica que vamos usar: indução matemática (explicação didática).
Indução é um método para provar afirmações
para todo
natural, em dois passos:
- Base: provar
(ou dependendo do início). - Passo indutivo: assumir
verdadeira para um arbitrário (hipótese indutiva) e então provar .
Se ambos os passos são verdadeiros, então
vale para todo
natural. Aqui
será a afirmação
Vou detalhar base e passo indutivo de forma explícita.
Passo 3
Base da indução:
.
Calculemos
pela definição:
O produto vazio (produto de
até
) é, por convenção,
. Portanto a expressão à direita para
é
Logo a igualdade é verdadeira para
:
A base está provada.
Passo 4
Preparação algébrica útil (observação que será usada no passo indutivo).
Note que, pela definição,
Assim
Expandindo, obtemos
Guarde esta forma, pois ela ligará
ao quadrado de
.
Passo 5
Passo indutivo: suponha a afirmação verdadeira para algum
(hipótese indutiva) e prove para
.
Hipótese indutiva: suponha
Multiplicando os dois lados por
obtemos:
O lado direito pode ser reescrito reconhecendo o produto completo até
:
Agora isole
:
Passo 6
Concluir o passo indutivo usando a expressão para
obtida no Passo 4.
Do Passo 4 temos
Comparando com a expressão do Passo 5 para
(que é
), vemos que
Isso é exatamente a fórmula desejada para
. Portanto, o passo indutivo está completo: se vale para
então vale para
.
Passo 7
Conclusão da parte (a).
Como a base (Passo 3) foi provada e o passo indutivo (Passos 5–6) foi demonstrado, por indução a fórmula é verdadeira para todo
:
Comentário didático rápido: essa identidade também pode ser vista por uma fatoração geral
avaliada em
, que dá a mesma relação
, e daí
.
Passo 8
Preparação para a parte (b): entender o que significa serem coprimos.
Dois inteiros
e
são coprimos quando
, isto é, o maior divisor comum é
. Outra forma útil: se uma
divide simultaneamente
e
, então
e
não são coprimos. Vamos mostrar que isso não ocorre para dois Fermat distintos.
Passo 9
Prova do “Teorema de Golbach” (parte (b)): quaisquer dois números de Fermat são coprimos.
Sejam
e
com
. Suponha que existe um divisor comum
de
e
; ou seja,
e
. Pela identidade provada na parte (a) temos
O produto
contém o fator
(já que
). Portanto
divide esse produto. Se
divide o produto e também divide
, então
divide a diferença
Logo
divide
. Portanto
.
Passo 10
Excluir a possibilidade
.
Observe que todo número de Fermat é ímpar, pois
é potência de
(par) somada de
, logo é ímpar. Assim nenhum
é divisível por
. Portanto
não pode ser
. A única possibilidade restante é
.
Passo 11
Conclusão da parte (b).
Como qualquer divisor comum
de
e
com
deve ser
, concluímos que
. Ou seja, quaisquer dois números de Fermat são coprimos. Isso é o que o enunciado chama de “Teorema de Golbach”.
Resposta
(a)
(b) Para vale
.
(b) Para